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La composition de deux fonctions consiste à appliquer une première fonction à une variable, puis appliquer une deuxième fonction au résultat obtenu. Il est possible de décomposer une fonction en plusieurs étapes. Par exemple, pour la fonction racine de x² + 7, il est possible de la décomposer en trois étapes : d'abord on passe de x à x², puis de x² à x² + 7, puis on prend la racine de x² + 7. La composition de deux fonctions est associative, mais pas commutative. Il est important de faire attention aux ensembles de définition des fonctions utilisées lors de la composition.

Bienvenue dans cette vidéo expliquant ce que c'est la composition de deux fonctions. Alors j'ai pas mal de slides et d'exemples pour vous montrer. On va commencer direct avec ça, c'est mieux un exemple que de la théorie comme d'hab. Partons directement avec une fonction et faisons-en un jeu. Alors en combien d'étapes est-ce qu'on peut décomposer la fonction suivante? Essayez de répondre. Racine de x² plus 7. Quand je dis étapes, c'est-à-dire étapes de construction en partant de x. A votre avis, en combien d'opérations je vais pouvoir faire sur x pour construire petit à petit cette quantité racine de x² plus 7? C'est une vraie question. La première transformation, tout bêtement si je vous fais la liste, c'est on passe de x à x². Première étape, passer de x à x². On pourrait ensuite prendre ce x² et le faire passer, le faire transformer en x² plus 7. Voilà ce qui serait une deuxième étape. Vous avez compris l'idée, ce n'est pas compliqué ce que je fais. Je décompose juste en mini blocs d'action. Partir de x² plus 7, tout ce que je vais faire maintenant c'est l'opération prendre la racine. Voilà, on a réussi à décomposer cette fonction en briques assez élémentaires. On pourrait dire qu'on a fait subir à x trois transformations. On pourra dire qu'on a composé x par trois fonctions simples pour arriver à la racine finale, racine de x² plus 7. Quelles sont les trois fonctions qu'on a appliquées à notre variable x? La première fonction que ce x a subi c'est la fonction qui donne à chose la chose au carré. Donc ici il y a x, x². La deuxième transformation, je l'ai appelée g, c'est la transformation, donc la fonction qui a truc, donne truc plus 7. J'ai mis v ici pour mettre quelque chose qui n'est pas x. Chose c'est x², qu'est-ce que j'ai fait avec? J'ai pris chose et je l'ai fait plus 7. Je fais exprès de bien décomposer pour qu'on comprenne ce que j'applique en fait la fonction g à x². Mon chose ici, ou ma chose ou mon truc c'est x². Et enfin j'applique la transformation racine, donc h de quelque chose, h de chose égal racine de chose. En effet, chose ici étant x de plus 7, je l'applique racine comme ça. Donc on pourrait dire qu'on a composé en trois étapes. J'aurais pu faire un chemin qui était x donne x² plus 7 donne racine de x² plus 7. Dans ce cas-là on aurait pu dire que x a subi deux transformations. On a composé par deux fonctions pour arriver au résultat final. La première fonction étant la fonction qui a truc associé truc au carré plus 7, que j'appelle k ici. Et ensuite, la même qu'avant, je prends chose, mon objet, et je lui applique la racine. Il se trouve que x² plus 7 avait le bon goût d'être positif strictement. Et donc j'ai pas eu de problème de définition, notamment quand j'ai pris une fonction un peu spéciale, qu'est la racine. La racine, rappelez-vous, on ne peut pas la prendre pour un nombre négatif. Mais heureusement, x² plus 7 c'était simple, j'avais même pas de question à me poser. Après si je prends la racine de 1 sur 1 moins x par exemple, là ça se complique un peu. Il faudra faire vachement plus attention, il faudra faire attention à l'ensemble de définition, etc. Définition générale. Maintenant qu'on a fait un exemple, on passe à la définition théorique, normalement elle devrait être beaucoup plus digeste maintenant qu'on a vu un exemple très concret. Soit vu u et v, pardon, soit vu u de fonction telle que u est définie sur l'intervalle i à valeur dans l'intervalle j. C'est-à-dire que, par exemple, si je prends la fonction racine, je peux prendre n'importe quelle réelle dans l'intervalle i qui serait r+. Et aller à valeur dans l'intervalle j, ça veut dire que c'est l'intervalle dans lequel arrivent toutes les valeurs. C'est-à-dire que si je prends racine, où arrivent les valeurs de la racine, dans quel ensemble sont les valeurs de la racine? Racine de 1, racine de 2, racine de 8,5, tout ça c'est dans l'ensemble r+. On prend ensuite v qui est défini sur j, donc l'intervalle d'arrivée de la fonction précédente, mais qui lui est à valeur dans k. Donc j'ai bien u qui prend un x dans i et qui l'envoie dans l'intervalle j, puis v, elle, une fonction qui, il se trouve, prend sa chose, son truc, si vous voulez, dans j et l'envoie dans k. On va noter alors dans ce cas-là, v rond u, on met un petit rond entre les deux, la fonction qui est définie par v rond u de x, c'est en fait une écriture pour v de u de x. Donc l'idée c'est que, on prend un x dans i et on l'envoie avec v rond u dans k directement. En fait si vous réfléchissez, ok, avec u, u de x arrive dans j, et ça tombe bien parce que u de x, c'est dans j, je peux lui appliquer v, c'est-à-dire que je peux venir le récupérer par v et faire v de u de x, v d'un truc dans j, comme j'ai vu ici, v d'un truc dans j, va arriver dans k, c'est ça qu'on fait ici. Quelques petites propriétés, associativité, la composée de fonctions est associative. Donc en gros si on a u, v et w, trois fonctions qui vérifient les bonnes conditions de définition, imaginez qu'il y a une racine, des inverses, il faut faire attention, alors on a w rond v rond u qui est égal à w rond v rond u. En fait c'est assez intuitif, il n'y a pas trop de problèmes là-dessus. Commutativité, là par contre il y a un problème. Ce n'est pas commutatif, v rond u en général est différent du u rond v. Pourquoi? Prenons un exemple, ça veut dire que d'abord on applique à x u puis v, ou on applique d'abord v puis u. Ça par exemple ça va être faux les trois quarts du temps. Si on prend un exemple, si u c'est la fonction qui à x associé x²-7, espèce de parabole, et si v c'est la fonction qui à x associé l'exponential, tout bête. On a d'un côté, si je commence par un posé à x, u, je fais v de u de x, donc c'est v rond u qu'on écrit, v rond u de x qui en fait vaut v de u de x, j'ai une jolie écriture. v de u de x c'est u de x, x²-7, on applique v dessus, donc c'est l'exponential de x²-7. Très bien, faisons le contraire. Cette fois-ci on prend x, on applique à x v, donc ça fait e de x. On applique ensuite à ce e de x, u, donc ça devient e de x, le tout au carré, moins 7. Ça fait e de 2x-7. Clairement, ces deux fonctions sont différentes. Pour vous montrer qu'elles sont différentes d'ailleurs, une manière simple c'est de prendre la valeur en 0. Celle-ci elle vaut e de-7, celle-ci elle vaut moins 6. Voilà, rien à voir. Voilà ce que j'avais à dire sur la composition. Le plus important c'est de se rappeler que ce n'est pas commutatif. J'espère que c'était clair avec l'exemple et que la définition formelle ne vous a pas trop fait peur. Si vous avez des questions, comme d'habitude, c'est dans le forum. Je vous dis à la prochaine.

Composition : Déf

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