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Composition

Dans cette vidéo, on apprend à dériver une fonction composée. Tout d'abord, on rappelle ce qu'est la composition et les contraintes sur les ensembles d'arrivée, le départ et les fonctions qu'on compose. Ensuite, on utilise des exemples simples pour illustrer la dérivation de fonctions composées. On remarque que dans toutes les formules, il y a un facteur u prime à ne pas oublier. On donne ensuite la formule générale de dérivation pour les fonctions composées. On explique également qu'une fonction composée de deux fonctions de même monotonie est croissante, tandis qu'une fonction composée de deux fonctions de monotonies opposées est décroissante. Des exemples sont donnés pour illustrer ces concepts.

Dans cette vidéo, on va voir maintenant comment dériver une fonction composée. Donc on a pris le temps de bien comprendre ce que c'était la composition, sachant qu'on avait un petit peu vu ça normalement en première, mais là on a bien vu théoriquement ce que ça voulait dire, il fallait, il y avait des contraintes très fortes sur les ensembles d'arrivée, le départ, et les fonctions qu'on compose. Maintenant on va essayer de dériver ça. Alors, comment on va faire? Ça va être assez simple en fait. On va reprendre tout bêtement un exemple, les formules qu'on connaît déjà. Avant de faire la grande formule théorique, toujours elles font peur les formules théoriques, donc moi je préfère commencer par les exemples les plus faciles, du genre ce qu'on a vu en première. Pour u, une fonction dérivable, et x, un réel, on peut dire comme 1 sur x c'est moins 1 sur x2, alors 1 sur u prime c'est moins 1 sur u carré. Bah oui, ça a l'air intuitif. C'est facile en fait, si on connaît bien son tableau de dérivés basique, 1 sur x prime c'est moins 1 sur x2, on se dit 1 sur u avec u fonction, c'est moins 1 sur u carré. Or non, on a vu dans le cours de première que c'était pas ça. Et surtout ne pas oublier le u prime de la formule. Et ça, ça va être le truc que je vais dire pendant toute la vidéo. Alors il faut surtout pas oublier le u prime, et la bonne formule c'est 1 sur u prime égale moins u prime sur u carré. C'est-à-dire que c'est bien le moins 1 sur u carré qui a l'air intuitif et qui a l'air sympa, dont on parlait tout à l'heure, mais fois u prime. Donc en gros, il y a le moins 1 sur u carré, c'est vrai, mais c'est fois u prime. Je l'écris comme ça, là je sépare les deux en gros uniquement pour faire marquer un petit pattern, si vous voulez, un truc qui va arriver souvent. Si je continue, on reprend avec racine de x. Racine de x prime, c'est 1 sur 2 racine de x. Donc logiquement, racine de u prime, si je suis ma logique très bêbête, ça fait 1 sur 2 racine de u. Non, toujours pas. Il faut toujours pas oublier le u prime, et si vous vous rappelez vos formules de première, en tout cas on les revoit ici si vous avez oublié, ben la bonne formule c'est u prime sur 2 racine de u, soit 1 sur 2 racine de u, le truc intuitif dont je parlais ici, ne serait-ce pas 1 sur 2 racine de u? Non. Mais pas loin, fois u prime. On commence à voir un petit truc qui se passe, c'est le truc intuitif, fois u prime, ça c'était tout à l'heure, et rebelote, encore fois u prime. Bon ben on se dit quand même, il y a peut-être quelque chose là. On pourrait rappeler de la même manière, encore il faudra que je vous ai mis une dose de rappel, que e de u, le tout prime c'est e de u fois u prime, et non pas juste e de u, etc. Il y a un petit tableau de tout ce qu'on a vu, une fonction, une fonction prime, a u plus b c'est a u prime plus b, très bien, u carré c'est 2u fois u prime, u cube c'est 3u carré fois u prime, u puissance n donc c'est n un moins 1 comme n xn moins 1 pour la dérivée de x puissance n, mais fois u prime, 1 sur u c'est la même chose, moins 1 sur u carré fois u prime, etc. Il y a toujours un fois u prime qui vient se rajouter. C'est le truc intuitif qu'on connaît quand c'est juste un x tout seul, parfait c'est le même tableau on est content, et maintenant il y a un fois u prime parce qu'en fait c'est une fonction et donc il y a cette petite nuance du fois u prime. La généralité qui se dégage c'est ça, c'est la formule un peu de base, sans oublier le u prime. Alors définition formelle, voilà la définition, soit u et v de fonctions, vérifiant toutes les conditions de définition requises, imaginez qu'il y a une racine, imaginez qu'il y a un inverse, tout ça, tout est bon. Elles sont dérivables, elles ont des dérivés u prime v prime, alors la dérivée de v rend u c'est quoi? On a vu dans tous les exemples, c'est apparemment le truc intuitif appliqué à u, donc j'imagine v prime de u en fait, auquel on ajoute, on essaye de ne pas oublier le u prime. En effet, c'est v prime appliqué à u, rond u, qu'on compose sur u, donc par exemple pour racine de u ça fait 1 sur 2 racine de u, donc c'est bien 1 sur 2 racine de x appliqué à u, fois u prime qu'on n'oublie pas. Donc voilà la formule générale qui se dégageait en fait de toutes les formules qu'on a vu. Donc si vous vous rappelez juste les 3-4 formules, la logique que j'ai présentée de on fait le truc d'habitude fois u prime, c'est en fait cette formule quand on l'écrit proprement. Si on l'écrit aussi avec des x donc, v rond u prime ça fait v prime appliqué à u, donc v prime de u de x fois u prime. Voilà conséquence assez simple, si v et u sont de même monotonie, donc ça c'est important, alors v rond u est croissante, ça c'est assez intéressant, donc c'est à dire que si d'un côté j'ai v et u qui sont croissantes ou v et u qui sont décroissantes, alors la fonction v rond u est croissante. Par contre si elles sont de monotonie contraire, c'est à dire une croissante et une décroissante, dans ce cas là, la composée, l'ensemble v rond u est décroissante. Je vais vous faire quelques exemples. Si je compose maintenant avec des monotonies contraires, je vous fais un petit exemple. Alors peut-être que là vous ne voyez pas assez mon écran, je vais peut-être vous mettre tout ça, ce sera peut-être plus intéressant pour vous, de voir qu'ici j'avais défini pas mal de fonctions et qu'en fait à chaque fois, donc je vous mettrai le lien de ce truc là, à chaque fois vous voyez il y a les différentes compositions, j'en ai fait pas mal. Si ensuite je mets des monotonies qui sont opposées, donc une croissante avec une décroissante, j'obtiens un truc qui décroît, voilà, quand vous composez croissante et décroissante ça décroît, croissante croissante ça croît, décroissante décroissante ça croît. C'est un peu genre plus plus et moins moins ça fait plus, plus moins moins plus ça fait moins, c'est un peu la même chose. J'espère que tout ça a été très clair, allez vous entraîner avec les vidéos de méthodes, ça sera un capital pour cette partie du cours. J'espère que c'était très clair, encore une fois n'hésitez pas à aller poser plein de questions sur le forum, et je vous dis à la prochaine!

Dériver une composée

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