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Définition et Propriétés

Le logarithme, noté ln, est une fonction définie sur l'intervalle des nombres réels strictement positifs. Pour un nombre réel x strictement positif, ln(x) est l'unique solution de l'équation 2y = x. On peut définir le logarithme avec n'importe quel nombre x, en appelant la solution de l'équation 2y = x, ln(x). Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l'une de l'autre, ce qui signifie que la fonction exponentielle de ln(x) est égale à x, et que ln de la fonction exponentielle de x est égale à x. Cependant, ces fonctions ne sont pas définies de la même manière pour tous les x. Par exemple, le logarithme n'est défini que pour les x positifs stricts. Il est important de se rappeler que la racine carrée d'un carré est égale à la valeur absolue du nombre d'origine, et que la fonction logarithme et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

Pour bien comprendre ce qu'est le logarithme, je vais utiliser tout au long des différentes vidéos une remarque assez importante, c'est un rappel sur le lien entre x² à parabole et racine de l'X de la fonction racine. On va s'aider beaucoup de certaines de ses propriétés, du fait notamment que l'une et l'autre sont un petit peu réciproques l'une de l'autre. Alors, logarithme, définition et propriété, on va appeler fonction logarithme n'est pas rien, notée ln, la fonction qui est définie sur r plus étoile, donc 0 plus l'infini xq, qui à tout nombre réel strictement positif x, associe l'unique solution de l'équation E2y égal x d'un connu y. C'est-à-dire qu'en fait, vous avez déjà vu avec l'exponentiel qu'on sait résoudre des équations du genre E2y égal E exponent y égal 1, on sait que y égal 0. Si je vous mets un E2y égal 2, là, vous êtes dans la panade. C'est-à-dire que E2y égal 2, on ne sait pas quoi faire. Et on va décider d'appeler la solution à l'équation E2y égal 2, log de 2. Ou à E2y égal x, log de x, on peut faire pour n'importe quel x. Voilà. Donc l'idée c'est, quand vous mettez un y égal à quelconque ici, on va appeler cette distance ici, log de a. Et vous commencez à voir peut-être pourquoi est-ce que je vous ai parlé de x2 et de x. L'idée c'est ça, mathématiquement. On va avoir, quel que soit x positif, exponentielle de log de x, égal x. En effet, log de x c'est par définition la solution à E2y égal x, donc y égal log de x, donc on peut écrire E2log de x égal x. De la même manière, on pourrait écrire, quel que soit x appartenant à R, log de E2x égal x. En fait, ces deux fonctions vont être réciproques l'une de l'autre, de la même manière que la racine d'un x², ça fait x, ou la racine de x², ça fait x. Donc une relation entre racine et x², ça va être la même pour log de x et exponentielle x. Et de la même manière d'ailleurs que la relation entre racine et la parabole, ça ne sera pas vrai, ces deux relations, pour les mêmes x. On a vu par exemple que le log est défini uniquement pour les x positifs, donc à partir du moment où j'écris log de x, je ne peux parler que de x positif strict, c'est pour ça qu'ici j'ai quel que soit x positif strict, alors qu'ici on sait que E2x est défini pour tout R, donc c'est quel que soit x appartenant à R qu'on a cette deuxième relation. Certaines valeurs particulières, log de 1 égale 0, log de E égale 1, log de 1 sur E égale log de E de moins 1 égale moins 1. Donc l'erreur classique, c'est ce que je disais, il y a des ensembles d'existence pour ces égalités qui ne sont pas les mêmes. On a ces magnifiques courbes, ln est bien défini pour les x positifs, pas de ln si x est négatif, donc pas possible d'avoir la relation qui est là-haut. Très bien, petit rappel, c'était donc la même chose que ce que je viens de vous dire, que racine de x au carré égale x, je suis obligé de dire que c'est pour les x positifs parce que sinon la racine n'existe pas, donc je ne peux pas écrire le symbole racine de x pour un x qui serait autre chose que positif. Dans l'autre sens, faites gaffe, c'est quel que soit x appartenant à R, racine de x2 n'est pas égale à x, il délia la valeur absolue de x. C'est un des pièges avec lesquels on peut vous avoir, c'est-à-dire que oui c'est défini pour toutes x appartient à R, mais si x vaut moins 7 par exemple, ça fait moins 7 au carré, ça fait 49, vous n'allez pas me répondre que racine de 49 ça fait moins 7, vous allez répondre 7 parce qu'en fait vous avez fait spontanément la valeur absolue. Donc quand on écrit de manière théorique avec un x, on est obligé d'écrire racine de x2 égale valeur absolue de x. C'était un petit rappel, j'ai un peu fait le tour, ça c'est par cœur, l'idée c'était vraiment ça principalement, comprendre que l'une et l'autre allaient être inverses l'une de l'autre, de la même manière que racine et la parabole le sont, et voilà vous donner quelques petites problèmes à compléter. On se retrouve dans la prochaine vidéo.

Déf fondamentale

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