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Limites de Suites

Le cours concerne l'étude des variations et la convergence d'une suite mathématique donnée sous la forme d'un quotient, Vn = (6n + 3)/(n + 1). La méthode classique consiste à utiliser le critère de croissance en comparant Vn+1/Vn à 1 pour montrer que la suite est croissante et à démontrer qu'elle est bornée par 6 pour déduire qu'elle converge grâce au théorème de convergence monotone. Une autre méthode consiste à travailler sur l'expression de Vn en écrivant Vn = (6n + 1 - 3)/(n + 1) = ((6n + 1)/(n + 1)) - (3/(n + 1)) pour montrer que la suite est croissante et bornée par 6, et pour obtenir directement la limite de la suite qui est 6. L'analyse mathématique de cette suite est utilisée pour illustrer différentes méthodes et stratégies de résolution de problèmes en mathématiques.

Je vais commencer avec une première méthode, c'est-à-dire le truc un peu classique qu'on a dans le nom. On vous donne une suite, Vn égale 6n plus 3 sur n plus 1. Étudiez les variations, montrez qu'elle est majorée, en déduire qu'elle est convergente. Très classique, donc ce que je vais faire, on va commencer par les variations. Première remarque, on a une suite qui est sous la forme, quand on regarde ici, qui est sous la forme d'une division, d'un quotient. Vu que c'est un quotient, je vais plutôt avoir tendance à me dire que je vais utiliser le critère de croissance qui est avec Vn plus 1 divisé par Vn, et voir si ce ratio est plus grand ou plus petit que 1. Donc c'est ce que je vais faire tout de suite. Donc j'écris, fois 1 sur Vn j'inverse, donc j'écris n plus 1 sur 6n plus 3. Je peux factoriser par 3 en haut et en bas les deux 6n ici. Donc j'écris 3 fois 2n plus 3 n plus 1. Jusqu'à là c'est un peu laborieux, mais on peut simplifier par 3 ici. L'idée c'est que si je développe complètement en haut et en bas, je trouve 2n² plus, j'ai combien de n ici, j'ai 2n, plus 3n ça fait 5n, plus 3. Donc je peux dire que ça c'est supérieur strict à 1. Tout simplement parce que le truc au-dessus est plus grand que le truc en dessous. Donc ça va, on peut en déduire la suite Vn est croissante strictement. Petit 2, ce qu'on peut faire c'est montrer qu'elle est majorée par 6. C'est tout de suite partir du résultat. Vn plus petit ouïe à la 6, quel que soit n, Vn plus petit ouïe à la 6, si et seulement si, on fait un résultat, enfin pas un résultat, un raisonnement par équivalence, et on voit ce que ça donne. Donc si on fait un raisonnement par équivalence, on va essayer de voir si on n'arrive pas à la fin à quelque chose d'évident. 6n plus 3, plus petit que 6 fois n plus 1, qui est 6n plus 6. Si je veux vraiment insister, si et seulement si, 3 plus petit que 6, ce qui est vrai. Donc Vn plus petit que 6, comme ça c'est vrai, par équivalence ça c'est vrai, ça c'est vrai, ça c'est vrai aussi. Donc on dit, le truc que je veux, Vn plus petit que 6, est équivalent à quelque chose d'évident, 3 plus petit que 6. Donc Vn est borné par 6, majoré par 6. Petit 3, c'est juste le théorème de convergence monotone. Je viens de montrer en 1 que ma suite était croissante, en 2 qu'elle est majorée, et la suite croissante majorée converge. Donc Vn converge. J'ai envie de vous montrer comment faire ce truc en, limite les 3 questions d'un seul coup, en une ligne, en un calcul, et en plus de ça vous gagnez la valeur de la limite. L'idée c'est de travailler sur l'expression. On va faire méthode 2, travailler sur Vn. On peut écrire Vn égale. Je vais utiliser le fait que Vn soit une division par n plus 1, et je vais faire apparaître n plus 1 au-dessus. Si je fais apparaître n plus 1 au-dessus, ce que ça va me faire c'est 6 fois n plus 1. Ça fait 6n plus 6. Malheureusement en haut je ne veux pas 6n plus 6, je veux 6n plus 3. Donc je fais exprès de forcer l'expression 6 fois n plus 1 en haut, et puis derrière je compense. Vu que ça fait 6n plus 6 et que je veux 6n plus 3 en haut, j'écris un peu innocemment 6 fois n plus 1 moins 3. Donc vous pouvez vérifier, 6 fois n plus 1 c'est 6n plus 6, moins 3, ça fait bien 6n plus 3. Et l'idée c'est de forcer le n plus 1 pour pouvoir simplifier en séparant la fraction en deux. Je vais séparer la fraction ici, ça va me faire 6 moins 3 sur n plus 1. Donc il y a trois questions ici. Est-ce que la suite est croissante ou décroissante? Ici quand on voit la suite écrite de cette manière, ce que je vois c'est que la suite en fait c'est une fonction de n. Comme fonction de n je pourrais écrire ça c'est f de n. Une certaine f, mais qui est très simple à étudier. En fait si j'écris f de x c'est 6 moins 3 sur x plus 1, ça c'est une fonction hyperbole. Les fonctions hyperbole classiques elles sont décroissantes. Ici comme j'ai un signe moins, je peux dire qu'elle est croissante. Avec un signe moins, elle est croissante. Donc si f est croissante sur r, en tout cas sur r plus, dans ce cas on est bon, on peut dire que Vn est croissante. Donc Vn est croissante. Le fait qu'on ait une écriture comme ça 6 moins 3 sur n plus 1, ça tout de suite qu'est-ce que je peux dire? Je peux dire que 6 moins 3 sur n plus 1, 3 sur n plus 1 c'est positif, donc n c'est un entier. Je peux dire directement que ça c'est aussi plus ou moins égal à 6. Ça me répond à la question 2. Donc j'ai bien ma réponse à la question 1 ici, ma réponse à la question 2 tout bête qui découle aussi de l'écriture simplifiée que j'ai mise. Et question 3, est-ce qu'elle converge? Ouais, trop facile en fait, je connais la limite de 3 sur n plus 1. Ça c'est une limite classique. Ça, ça tend vers 0. Et ça c'est une limite classique.

Majoration astucieuse

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