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Limites de Suites

La suite de Fibonacci et le nombre d'or sont définis par récurrence avec chaque terme étant la somme des deux précédents. Pour exprimer chaque terme de la suite comme une combinaison linéaire de sommes géométriques, il faut trouver des réels a, b, lambda et mu qui vérifient une certaine relation de récurrence. Au lieu de résoudre directement les équations impliquant les quatre variables, on peut chercher s'il existe uniquement une somme géométrique qui fonctionne, ce qui mène à deux valeurs potentielles pour la raison de la suite géométrique. En utilisant cela, on peut aboutir à une expression simple pour chaque terme de la suite de Fibonacci en fonction du nombre d'or et de certains coefficients. En analysant les raisons de la suite géométrique, on peut montrer que la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or.

Alors on l'appelle suite de Fibonacci et nombre d'or. On définit une suite, par récurrence, telle que pour toute n, un plus deux égale un plus un plus un. Donc en gros en français c'est chaque terme et la somme des deux précédents. On vous donne pour ça, vu qu'on définit, il faut quand même, pour calculer mon premier calcul par exemple de u2, il me faut les deux premiers, il me faut u0 et u1, sinon je ne peux pas avancer vu que dans ma relation de récurrence, j'ai besoin des deux précédents pour calculer le prochain. C'est pour ça qu'on vous file u0 égale u1 égale 1. C'est une suite intéressante si on calcule les premiers termes. On a... et on vous dit, essayez de trouver des réels. Alors a, b, lambda et mu tel que, pour toute n on pourra exprimer un comme une somme de, si on analyse ça, comme une somme, ou une combinaison linéaire si vous voulez, c'est à dire un certain nombre de fois le premier objet plus un certain nombre de fois le deuxième objet, de sommes géométriques. Donc en gros, est-ce qu'il n'y a pas des sommes géométriques qui pourraient vérifier cette relation? Voilà comment il faut traduire l'énoncé. Une erreur ici, c'est de commencer à prendre ça, et essayer de gérer tout de suite les 4 constantes à la fois. Si je pars un peu dans le chemin que j'appelle le chemin d'erreur en fait, je me dis, bon attendez, j'ai 4 inconnus, a, b, lambda, mu, il me faut 4 équations. J'ai u0 et u1 équivalent 1, donc ça me fait 2 équations, u0 égale 1, u1 égale 1, il m'en faut 2 autres. J'ai u0, u1, je peux peut-être utiliser u2 et u3. Si je fais ça, ça donne quoi? Je vais le faire, mais ce n'est pas ce qui marchera. Je peux écrire u0. Si un devient cette forme là, u0, c'est fait lambda fois a puissance 0 plus mu fois b puissance 0, c'est égal à lambda plus mu égale 1. Si je fais u1, j'ai 2 équations pour 4 inconnus, donc je continue. U2, lambda a carré plus mu b carré égale 2, on a dit pour u2, et u3, on a dit que c'était les 2 précédents, 2 plus 1, ça fera 3. Et là, vous voyez que c'est déjà l'enfer. En effet, j'ai 4 équations pour 4 inconnus, très bien, mais c'est vraiment la galère. J'ai 4 équations qui sont moches, il y a du b, du b carré, du b cube, c'est pas possible. Et ça va coincer, vous allez galérer. L'idée c'est plutôt de revenir à ce que c'est ce truc là, et se demander n'y a-t-il pas des termes géométriques, type suite géométrique, qui peuvent vérifier ça. Si on prend la question de cette manière là, tout va se résoudre. Voyons s'il n'y a pas un seul terme géométrique qui peut marcher, d'ailleurs. Et voyons si, par hasard, je n'en trouverai pas plus. Essayons. Qui vérifie la relation de récurrence, que je vais appeler étoile. Si on fait ça, on aura 6 et seulement 6, je remplace. Lambda A puissance n plus 2, égale lambda A puissance n plus 1, plus lambda A puissance n. Je peux diviser par lambda, je suppose que lambda est non nul, parce que s'il est nul, ce n'est pas très intéressant, donc on suppose que lambda est non nul. Je divise par lambda, on suppose que A est non nul aussi, sinon j'ai eu le 0 et il y a la 0. Donc je divise par lambda et je peux diviser par A puissance n. Ah bah parfait! Ça c'est un plénum du degré 2, je connais. Je peux écrire delta égale, c'est A carré moins A moins 1 si vous voulez. Donc c'est moins 1 au carré, moins 4 fois 1 fois moins 1. Ça, ça fait 5. Ok, 6 et seulement 6. A égale moins B, ici B c'est moins 1, donc c'est 1. Moins racine de 5 sur 2, ou A égale 1 plus racine de 5 sur 2, c'est le nombre d'or. Qui est un nombre pratique, assez sympa, qu'on rencontre en maths souvent, géométrique, etc. Alors vous vous dites, attends, ça veut dire que si je lis, est-ce qu'il n'y a pas des termes géométriques qui fonctionnent, j'en trouve deux potentiellement. Bah super en fait! Je vais dire A égale le premier, B égale le deuxième. Trouver des réels tels que. C'est parti! D'après mes superbes recherches, essais fructueux, je vois qu'il y a deux possibilités. Soit ça en puissance n, soit ça en puissance n. Testons. U n égale, bah 1 lambda inconnu fois 1 moins racine de 5 sur 2 puissance n plus mu que je ne connais pas. Maintenant que j'ai ça, je peux me rappeler qu'avec U0 égale lambda plus mu égale 1, maintenant que j'ai A et B qui vont peut-être fonctionner, j'ai plus qu'à trouver un potentiel lambda et mu en résolvant deux équations. Soit j'écris U1, c'est lambda fois 1 moins racine de 5 sur 2 plus mu, 1 plus racine de 5 sur 2, et tout égale 1. Tout ce que j'ai à faire c'est résoudre ce système. J'ai appelé ça alpha, j'ai appelé ça phi pour le nombre d'or. Je me retrouve avec lambda plus mu égale 1, alpha lambda plus phi fois mu égale 1, fois alpha pour la première ligne, ça fait 1. C'est ligne 1, ligne 2, si je fais 2 moins 1, qu'est-ce que j'obtiens? Les alpha lambda s'en vont, magnifique. Moi c'est mu mon inconnu, donc j'ai mu égale 1 moins alpha sur phi moins alpha. Phi moins alpha c'est ce truc là moins ce truc là. Ça fait 1 demi moins 1 demi, ça dégage, et racine de 5 sur 2 moins moins racine de 5 sur 2, ça fait racine de 5 en dessous. Et en haut, 1 moins alpha, ça fait le nombre d'or lui-même encore une fois. Ça fait 1 plus racine de 5 sur 2, donc le tout sur 2. Lambda égale 1 moins mu, avec l'équation là-haut, égale, et c'est égal à racine de 5 sur 2, moins 1 demi, le tout sur racine de 5. C'est un peu lourd, j'ai été jusqu'au bout des calculs parce qu'ils ne sont pas toujours simples, mais le plus important c'était ça, se lancer dans juste cette expression là, c'est compliqué, on a des équations moches. Et si on cherchait s'il n'y en a pas juste une toute simple géométrique qui fonctionne, donc j'essaye ici, je trouve qu'il y a deux valeurs de raison pour la suite géométrique qui sont possibles, donc je teste maintenant. Un égale 5 pour la première raison plus mu pour la deuxième, et je me demande si avec les contraintes qu'on impose, ce ne serait pas possible, maintenant je vais trouver un a et un b, et je vais trouver un lambda et un mu. C'est possible, on y a mu ici, lambda ici, je pourrais les arranger un peu honnêtement. On va accepter qu'on a un égale avec, on demande la limite de un plus un sur un. Encore un exemple, il ne faut pas être passif, il faut absolument comprendre quelles sont les raisons de cette suite géométrique. Typiquement ici, 1 plus racine de 5 sur 2, c'est super strict à 1, donc ça va diverger, ça va partir en plus infinie. Ensuite j'ai a qui est 1 moins racine de 5 sur 2, ça c'est plus grand, qui est plus grand strict que 1 moins racine de 9 sur 2, qui est égal à moins 1. Et j'ai a qui est négatif, parce que 1 moins racine de 5 c'est clairement négatif. Donc j'ai a qui est entre moins 1 et 1, et là j'ai fini l'exercice. Si vous repérez juste que les raisons se comportent de la manière dont elles se comportent, vous avez compris que b va diverger, ça va partir en plus infinie b puissance n. Et a c'est une raison entre moins 1 et 0, moins 1 et 1 si vous voulez, donc qui va tendre vers 0, on est bon. Factoriser en haut et en bas par le terme dominant, b puissance n plus 1 en haut, et b puissance n en bas. Ici ça fait lambda a sur b puissance n plus 1 plus mu. Donc si a entre 0 et moins 1 et b est plus grand que 1, a sur b est plus petit que 1. Je peux conclure que cette chose là tend vers 0, cette chose là tend vers 0, donc toute cette chose là tend vers mu sur mu, tend vers 1. Donc le tout, là je peux simplifier b puissance n, tend vers b fois 1 égale b. Et b c'est 1 plus racine de 5 sur 2, le nombre d'or.

Prépa : Fibonacci

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