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Définition et Propriétés

Le cours porte sur la fonction LN et sa relation fonctionnelle. Il s'agit de déterminer les fonctions satisfaisant l'équation f2ab = f2a + f2b et f'(1) = 1. En utilisant la dérivée du log, on démontre que si la fonction est non nulle et définie en 0, alors elle est égale à zéro partout. On conclut donc que la fonction ne peut pas être définie en 0. Ensuite, on démontre que f(1) = 0 en utilisant la relation fonctionnelle. On établit également que f(x/y) = f(x) - f(y) en s'inspirant de la démonstration de log(a/b) = log(a) - log(b). Enfin, on détermine le sens de variation de f sur (0, +∞) en utilisant la dérivée f'(x) = 1/x. On conclut en disant qu'en partant de ces deux propriétés, on peut retrouver toutes les propriétés du log et définir fondamentalement la fonction LN.

Première exo qui est notre approche de la fonction LN. Donc on vous dit, on cherche à déterminer les fonctions qui vérifient f2ab égale f2a plus f2b, f' de 1 égale 1. Vous pouvez déjà gratter dans vos souvenirs et vous dire attendez, ça je reconnais, c'est la relation fonctionnelle du log, ça commence bien. Et f' de 1 égale 1, alors il faut se rappeler, la dérivée du log c'est 1 sur x, donc en 1, quand x vaut 1 ça fait 1, donc ça a l'air d'être quand même les propriétés du log. On va peut-être redémontrer des choses. F non nulle, j'ai déjà encadré ça. Non nulle c'est vraiment le truc de base. Pour toute fonction f non nulle, ça veut dire une fonction qui n'est pas parfaitement égale à 0 partout, on va vérifier les conditions ci-dessus. C'est pas possible de définir la fonction en 0. Donc ça, on va le démontrer. Donc soit, enfin c'est pas soit d'ailleurs, c'est si f différente de la fonction nulle ne peut pas être définie en 0, on va supposer qu'elle peut être définie en 0, on va voir ce que ça donne, c'est un raisonnement par l'absurde, ou par contraposé, on suppose que quelque chose est vrai et puis on voit si on arrive à une contradiction. Dans ce cas, je vais utiliser la relation qu'on me donne et je vais essayer de voir. Dans ce genre d'exercice, c'est assez classique, on vous donne une relation sur la fonction. Souvent, il y a pas mal de questions qui vont consister à mettre des valeurs assez simples à la place de a et b. On vous dit que ça c'est vrai pour tout a et b. On va essayer de voir, vu qu'on me demande le point 0, je ne vais pas me prendre la tête, je vais essayer tout de suite. Je réécris la relation en me remplaçant a et b par 0. J'ai donc 2f de 0 égale f de 0, ça fait donc 2f de 0 moins f de 0 égale 0. J'obtiens assez vite que f de 0 égale 0. Pour l'instant, il n'y a pas de contradiction. Tout ce que j'ai fait, c'est montrer que si je peux définir la fonction en 0, alors ça vaut 0. La contradiction n'est pas encore là, mais on a un début. C'est qu'au moins, on a trouvé la valeur de f de 0. La contradiction, si on réfléchit à l'avance, elle ne peut être que sur un seul élément. C'est-à-dire qu'on vous a dit que la seule condition qu'on a, c'est non nulle. Pour qu'elle soit non nulle, il ne faut pas qu'elle soit égale à 0 partout. Dans ce cas, peut-être que partant de f de 0 égale 0, je vais peut-être montrer que la fonction est égale à 0 partout. Et si j'arrive à faire ça, ça sera bon. En fait, ici, ce qui va suffire, c'est de prendre, je ne sais pas, b égale 0, mais a non nulle. On a pris b égale 0, a égale 0, maintenant on va faire le contraire. On va faire quelque chose de différent, on va prendre a différent de 0, b égale 0. Si on fait ça, on a quoi ? Ça, c'est nul, donc je m'en fiche. Ça, c'est nul aussi, parce que c'est f de 0. J'obtiens donc f de a égale 0. J'ai démontré, donc j'ai pris un a quelconque. J'ai pris un a différent de 0 et je vois que c'est f de a égale 0. Mais f de 0, c'est aussi 0. Donc en fait, pour tous les réels possibles, j'ai f égale 0. F est donc la fonction nulle. Ça, c'est un problème, parce qu'on avait dit que f est différente de 0. Je dis que si elle est définie en 0, alors je peux tomber, enfin je tombe sur le fait que f est nulle, contradiction. La fonction ne peut pas être définie en 0. Pour la suite de l'exercice, on va considérer des f définies sur 0 plus infini, donc uniquement les nombres positifs, non nuls. Montrer que f de 1 égale 0. Encore une fois, cette fois-ci, on va jouer avec les valeurs. On demande f de 1. Je ne me prends pas la tête, donc je prends a égale 1, b égale 1, et je vois ce que ça donne dans la relation. Quand j'ai ça, j'obtiens ce qui m'amène à f de 1 égale 0. Donc voilà, ça c'est très rapide. Montrer que f de x sur y égale f de x moins f de y. Honnêtement, en partant de rien du tout, c'est pas simple. Mais si vous avez une idée de comment on démontre que log de a sur b égale log de a moins log de b, ce qui est un truc du cours, il suffit de réappliquer un peu la même méthode. Première intuition étant, on peut écrire f de x sur y. Donc on a une fonction f qui est définie sur des réels positifs stricts, donc différentes 0. Il n'y a pas de problème pour y, y étant différentes 0, on peut diviser. On peut dire que ça, c'est f de x fois 1 sur y. Et là, l'astuce, si vous vous souvenez de votre cours, vous pouvez écrire f de y fois 1 sur y. Mais ça en fait, c'est aussi égal à f de 1 égal à 0. Et donc on trouve que f de 1 sur y, c'est égal à moins f de y. Et donc on peut conclure que ça c'est bien égal à f de x moins f de y. Voilà, ça se fait tout seul. Là, je l'ai fait, encore une fois, je l'ai sorti un peu du chapeau, mais si vous avez en tête la démonstration de log de a sur b, ça va tout seul, il n'y a pas de problème. Parfait. Donc ça, c'était le début de l'exo. On a trouvé ces propriétés qui nous rappellent donc le logarithme. On vous demande ensuite de montrer que pour tout x positif et h totalement positif, ce truc-là. Premier truc, tout de suite dès que vous voyez ça, il faut que ça tilte dans votre tête et que vous vous disiez qu'est-ce que j'ai ? J'ai un taux d'accroissement. Il faut reconnaître ce machin-là et se dire ce truc-là, attention, taux d'accroissement, donc on va me parler de dérivabilité, c'est sûr. Par définition de ça, on sait que sa limite sera liée à un nombre dérivé. C'est bien de la marquer directe. Mais ce qu'on vous demande d'abord, c'est pour l'instant de ne pas le traiter comme un taux d'accroissement, mais juste de montrer une propriété numérique, algébrique, si vous voulez. En gros, de montrer quelque chose. En déduire que f' là, c'est quand on jouera son taux d'accroissement. Donc c'est bien de le repérer tout de suite pour ne pas être en retard sur la question B, typiquement. Donc petit a, on vous dit de montrer que ce machin vaut quelque chose d'autre. Bah ok, c'est parti. f de x plus h. Bon, on me demande alors un peu une astuce. Souvent, c'est peut-être plus simple de partir de ce côté et d'aller sur celui-là. Mais bon, là j'ai f de x plus h, ici j'ai f de 1 plus h sur x. Donc je vois ici qu'on m'a en gros divisé par x le contenu de la parenthèse qui est là. Donc ce qu'on va faire ici, c'est repérer qu'en fait f de x plus h, c'est f de x facteur de 1 plus h sur x. J'utilise la propriété de la fonction, ça fait f de x plus f de 1 plus h sur x. Parce qu'ensuite, je peux écrire maintenant, c'est parfait, f de x plus h. Mais dans l'énoncé, on me demande autre chose. On me demande moins f de 1. J'ai démontré que f de 1 valait 0. Moi, j'ai aucun problème à écrire moins 0 ici. Le 0, en fait, je l'écris en la forme f de 1. Et ensuite, ils nous disent, on veut du x ici, du x ici. Si vous regardez, ce x, il va dans la fraction là, ça fait hx sur x. Ça fait h, j'ai le droit d'ajouter dans le lieu tant que je veux. Donc je vais mettre, divisé par x ici, et donc fois 1 sur x ici, j'ai le droit d'ajouter. L'idée, c'est quoi ? C'est qu'en fait, on veut démontrer une dérivabilité en tous points. Et pour ça, la seule propriété qu'on a depuis le début, c'est que f prime de 1 égale 1. Donc la logique de l'exercice, c'est pas à vous d'y penser, on peut suivre, mais il faut juste suivre les étapes, c'est pas à vous de créer ça. Mais c'est vrai que c'est pas simple toujours de capter où ils veulent en venir. Donc en fait, quand ils font ça, ce sur quoi ils vont essayer de jouer, c'est de se rapporter à quelque chose qu'on connaît. On essaie toujours de se rapporter au peu de choses qu'on connaît. On nous a dit peu de choses, en l'occurrence, sur la fonction, donc on s'y rapporte comme ça. On va pouvoir montrer que ça, ça a une limite connue, parce que ça va être aussi un taux d'accroissement, et ça va être un taux d'accroissement en 1, en l'occurrence. 1 sur x, lui, ne nous gênera pas trop. On va regarder, donc ça, c'est démontré en haut, b égale 1, et c'est la limite. Je vais mettre pas h cette fois-ci, je vais mettre la limite quand u tend vers 0. Parce que je peux mettre la variable que je veux, donc je l'appelle u cette fois-ci. Quand je fais ça, c'est très bien. Je vais me demander si le h sur x ici va peut-être pas jouer un rôle de u. Donc si j'arrive à trouver un u qui tend vers 0, la quantité f2, 1 plus u, moins f2, 1 sur u, tend vers f prime de 1. C'est la même chose, en fait. Ce truc-là est bien un petit u qui tend vers 0, pour la bonne, simple, bonne raison que h lui-même tend vers 0. Parce que je vais faire tendre h vers 0. Je vais pouvoir dire, donc, limite. Donc, j'ai la limite de ce machin, comment je vais le faire ? Comme ça, ce truc-là, qui vaut 1. La limite de ce truc, c'est 1. Ah, donc c'est pas très compliqué. Moi, ce que je veux ensuite, c'est la limite de ce truc-là. C'est la limite de ça, fois la limite de ça quand h tend vers 0. Y'a pas de h ici. Donc, très simple, égale 1 fois 1 sur x, 1 étant ce 1 ici. C'est démontré. Et là, je peux me demander si le h tend vers 0, 1 étant ce 1 ici. C'est démontré. Et donc ça, ça me dit quoi ? Donc ça, c'est le taux d'accroissement au point x quelconque. Ce que je peux dire, c'est la fonction f. En plus d'avoir démontré ça, on a démontré combien valait f'x, 1 sur x. Petit 5, déterminer le sens de variation de f sur o plus l'infini, en délivrant le signe de f. Parfait. Sur, égal 1 sur x, positif strict. Donc, je peux tracer mon tableau de variation. Je vais même pas tracer la partie dérivée, parce que tout ce que je sais, moi, c'est qu'elle est toujours positive. Donc, je peux juste faire ça, une flèche vers le haut. Une valeur interdite en 0, on dit que la fonction n'était pas définie en 0. Ça, c'est ma fonction f, pour les valeurs de x entre 0 et plus l'infini. Donc, je suis très content. Ça me donne ça, c'est chouette. Qu'est-ce que je voulais d'autre ? Déterminer le sens de variation, c'est faire, on va dire le signe de f selon les valeurs de x. On a déjà vu que f de 1 valait 0. On a vu ça à la question numéro 2 tout à l'heure. F de 1, c'était 0. Ça veut dire que... Oui, on regarde, entre 0 et 1, on est en dessous de 0, qui est ici. Et au-dessus, on est plus grand. Parfait. On a quand même trouvé... On a trouvé qu'on peut retrouver le log, on peut redéfinir le log, le retrouver complètement avec toutes ses propriétés, uniquement en partant de ces deux propriétés-là. Donc, c'est un peu comme si on cherchait les fondements du log. Les fondements, c'est ça. Si on a une relation de, en gros, la multiplication de AB se transforme en f2f plus f2b, donc de multiplication qui se transforme en plus, et un point pour la tangente, donc f' de 1 égal à 1, si on a ça, ça suffit à retrouver toutes les propriétés du log, ça suffit pour définir fondamentalement le log.

On redécouvre le log ?!

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