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Ce cours traite de sujets techniques et avancés en mathématiques, en particulier de la propriété du logarithme et de sa relation avec les puissances. Il explique comment utiliser le logarithme pour simplifier des expressions complexes avec des puissances et démontre une propriété importante du logarithme. L'objectif est de montrer que lorsque N tend vers l'infini, l'expression 1 + A/N^N converge vers l'exponentielle de A. Ce résultat est démontré en utilisant des propriétés du logarithme et de l'exponentielle, ainsi que des formules connues. En conclusion, le cours montre comment utiliser le logarithme pour simplifier et résoudre des problèmes de limite en mathématiques.

Là, on est sur quelque chose d'un peu plus technique, qui ressemble vachement plus à de la sup, de la prepa, si vous voulez, où vraiment on touche à la limite de la terminale. En sup, en gros, ça, il faudra connaître exactement sa limite. Je ne vous le cache pas, c'est exponentiel de A. On va connaître ce résultat. Là, on va le démontrer. Premier réflexe intéressant, c'est que quand vous avez... Maintenant, vous connaissez le logarithme. Le logarithme, en gros, sa propriété, c'est la propriété principale du logarithme, enfin, pas principale, mais une des grandes propriétés du logarithme. C'est que log de A puissance N, ça fait N fois log de A. En fait, ce que ça veut dire, c'est que si N est très très gros, genre, je ne sais pas, 30, A puissance 30, potentiellement, pour peu que A vaille, je ne sais pas, 5, c'est énormissime. 5 puissance 30, c'est énorme, ça va très loin. Donc, c'est 5 fois 5 fois 5, 30 fois, c'est très très gros. Eh bien, ce 5 puissance 30, bon, je le mets juste pour rigoler en exemple, ce n'est pas... Eh bien, le 30 log de 5. En fait, ce que fait le log, c'est qu'il écrase à fond les noms. Donc, 5 puissance 30, c'est immensissime et ça devient 30 log de 5. Log de 5, je ne sais pas, ça peut être une nuage longue de 2. Le truc devient genre 60. Ça devient 60 alors qu'on partait de quelque chose qui valait des milliards et des milliards. Donc, c'est assez intense. Et cette propriété du log, ça... C'est ce qui va vous permettre d'avoir un peu un réflexe dans certains exos. C'est que dès que vous avez de la puissance N, dès que vous avez un truc énorme, un truc un peu... un peu gros, avec de la puissance qui varie, tout de suite, un réflexe qu'on va attendre de vous, notamment dans le supérieur, tout de suite, c'est on balance, on met le log, on ne réfléchit même pas. On réfléchit un peu quand même ici, on va faire attention à ce qu'elle soit définie, c'est la question 1. Mais quand vous avez un truc avec de la puissance où en gros c'est assez chiant parce que l'inconnu est à la fois dans la parenthèse, dans la puissance, ça peut arriver ce genre d'expression, ce genre d'exercice, tout de suite, il faut se libérer un peu de ce truc compliqué en ayant le réflexe du log. Vous prenez le log, ça va sortir la puissance, ça va la faire dégager. Ça va être assez pratique. Montrez qu'elle est bien définie. Pour être définie, c'est quoi le problème ? On veut que ce qu'il y a dans le log, ce soit positif strict. Parce que le log, on nous l'a expliqué dès le début du cours, le log, ça ne marche qu'avec des nombres positifs stricts. Donc on veut... Ça veut dire quoi ? N est positif, donc je peux diviser de chaque côté. 1 plus grand que moins A sur N. Et ça, ça amène à quoi ? À donc 1 plus A sur N, positif strict. Et donc a fortiori, en puissance N, positif également. Parfait. J'obtiens... Je vais faire en deux temps, mais log de 1 plus A sur N puissance N. Je sors la puissance, ça fait N log de 1 plus A sur N. Donc calculez la limite de log de U N. Là, ce n'est pas facile. C'est une propriété, donc on avait cette propriété-là au début, qu'il faut bien connaître par cœur. Là, on va utiliser une autre propriété. C'est pour ça qu'il faut bien connaître votre cours, connaître tous les petits blocs fondamentaux du cours. Là, on va utiliser comme propriété une des limites du log. Et donc l'astuce, c'est pour ça que ce n'est pas simple, parce que ça demande un peu de maîtrise des formules, mais je vais vous montrer un exemple justement de comment maîtriser ces formules. Ça ressemble un petit peu aux démonstrations où on utilise des taux d'accroissement pour trouver des limites. Log de U N, ce qu'on reconnaît, donc c'est N log de 1 plus A sur N. Ce qu'on reconnaît, c'est un machin ici qui tend vers 0. Donc j'ai du log de 1 plus truc avec truc qui tend vers 0. Moi, dans le cours, il faut que ça me rappelle tout de suite une formule. Le log de 1 plus U divisé par U. Ça, quand U tend vers 0, quand U devient tout petit, ça tend vers 1. Ça, c'est une formule du cours. Alors, ce n'est pas la formule la plus utilisée, mais elle est au programme. Donc, je mets un petit par cœur. Il faut la connaître parce que c'est ça qu'on va utiliser ici. Là, l'idée, c'est que mon U, c'est A sur N. Moi, ce que je veux, c'est du log de 1 plus U divisé par U. C'est un peu le problème ici. Je n'ai pas vraiment ça, mais on y est presque. Je peux écrire log de U N égale, j'ai envie d'écrire log de 1 plus A sur N divisé par A sur N. Je vais faire exprès de faire ça. Divisé par A sur N. Mais si je divise, il y avait un N devant, je recopie le N quand même. Si je divise par A sur N, je le force un peu, je suis obligé de remettre fois A sur N. Comme ça, les deux se compensent. J'ai le droit de faire fois 3 divisé par 3. Pas de raison. Donc là, c'est fois A sur N divisé par A sur N. Et là, je suis content parce que j'ai bien mon log de 1 plus U sur U que je vais pouvoir gérer. Et ensuite, il y a le A sur N ici qui va se simplifier avec le N. Donc tout ça, c'est égal à A fois ce truc-là. Et là, c'est parfait. Parce que ce truc-là, par définition, on a déjà vu quand N tend vers plus infini, A sur N tend vers 0. Et on sait que ça, ça tend vers 1 grâce à la formule que j'ai mis entre parenthèses. Quand N tend vers plus infini. Donc c'est parfait parce que ça veut dire que vu qu'il y a fois A, log de U, N. Petit droit, on en déduit que pour tout X appartient à R, l'exponentiel, E de X égale etc. etc. Oui, mais nous, on a le log de U, N tend vers A. Parfait. Le log de U, N tend vers A. Je peux prendre l'exponentiel de chaque côté, l'exponentiel étant, l'exponentiel est continu. Je peux prendre, je peux dire que la limite de log de U, N, si je prends la limite de chaque côté si vous voulez, je prends l'exponentiel de chaque côté, la limite va se transmettre parce que l'exponentiel est continu. L'exponentiel est continu, quand vous voulez jouer avec les limites à chaque fois, on peut écrire exp de log de U, N, je peux écrire ça que s'il y a continuité, or exp de log de U, N c'est quoi ? C'est exp de log, ça s'annule, c'est la même chose, enfin ce sont des fonctions qui sont, comment on appelle ça ? Des bijections réciproques l'une de l'autre. Donc ça va se compenser, ça va faire U, N, et c'est exactement ce qu'on me demande. Parce que j'ai montré que 1 plus A sur N puissance N tendait vers l'exponentiel A, maintenant je peux prendre n'importe quel A, vu qu'on m'a dit A appartient à R, c'est la même chose, pour X appartient à R si on veut, je peux écrire la même chose, 1 plus X sur N puissance N, donc c'est comme avec A mais je ne remplace pas un X, converge vers, enfin non pas E de A mais E de X, c'est juste une manière de l'écrire.

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