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Les Primitives

Ce cours concerne l'analyse d'une fonction définie par f2x = x + log(4) + 2/(e2x + 1). L'objectif est de trouver une expression de primitive facile à détecter. 

Tout d'abord, on étudie les limites de la fonction. La limite lorsque x tend vers plus l'infini est x, car le reste de l'expression tend vers 0. La limite lorsque x tend vers moins l'infini est 2, car e2x tend vers 0 puisque x tend vers moins l'infini.

Ensuite, on examine le sens de variation de la fonction. Comme f est dérivable sur R et que la dérivée est toujours positive, cela signifie que la fonction est croissante.

Enfin, on trouve les primitives de la fonction. La primitive de x est x²/2. La primitive de 2 + log(4) est (2 + log(4))x. En utilisant une intégration par substitution, on obtient la primitive de -2e2x/(e2x+1) comme étant -log(e2x+1). Donc, l'ensemble des primitives possibles est x²/2 + (2 + log(4))x - log(e2x+1) + K, où K est une constante réelle.

En résumé, on cherche une primitive de la fonction f2x = x + log(4) + 2/(e2x + 1). On étudie les limites, le sens de variation et les primitives de la fonction, et on obtient l'ensemble des primitives possibles.

On vous dit, voilà une fonction définie par f2x égale x plus log de 4 plus 2 sur e2x plus 1. On n'est pas dans un exo d'équations différentielles ici. On sent plutôt qu'on va essayer de chercher une primitive, donc tout l'exercice va être en deux parties. Première partie, analyse cette fonction, essaye de la retravailler pour faire apparaître une expression de primitive facile à détecter. Donc pour commencer cet exercice, x plus log de 4 plus 2 sur e2x plus 1, on demande la limite en plus infini, la limite en moins infini. Vu que e2x tend vers plus l'infini, le tout, c'est du 2 sur l'infini, ça fait du 0. Donc ça, ça tend vers 0. En moins l'infini, lui tend vers, ben e2x cette fois-ci en moins l'infini tend vers 0. Donc ça tend vers 0 plus 1, donc 2 sur 1, donc 2. Quand x tend vers plus l'infini d'abord de f2x égale, ben en fait c'est la limite de x. Parce que ça, ce truc-là tend vers 0, ça c'est une constante. Donc c'est la limite de x qui est plus l'infini. Les limites quand x tend vers moins l'infini, c'est la même chose. C'est pas si on a du log de 4 plus 2 de ce côté-là en moins infini, mais on a le x ici qui tend vers moins l'infini, c'est lui qui domine sur les constantes. Très bien, étudiez le sens de la variation de f, dressez le tableau de variation. Alors f dérivable, puisque c'est la somme d'un polynôme de degré 1, donc si vous voulez x plus log de 4 c'est un polynôme de degré 1, et d'une fonction, d'une fraction, donc un quotient, de deux fonctions dérivables, c'est-à-dire une constante et e2x plus 1. Donc dérivable sur R, la fonction est définie sur R, parce que le seul problème de définition qu'on pourrait avoir c'est e2x plus 1, et e2x plus 1 est toujours strictement positif. Donc ça s'anime jamais, donc il n'y a aucun problème. Ça on s'est dit ici mais on peut toujours vérifier. Donc f dérivable sur R et on a donc x plus log de 4 ça fait 1 plus, alors ensuite on a du 1 sur u, 1 sur u ça fait du moins u prime sur u carré, tout bêtement là ce que je me retrouve à faire c'est du moins 2 e2x, la dérivée de e2x plus 1 sur e2x plus 1, le tout au carré. Je vais étudier le signe de f'2x et je vais dire f'2x est positif ou nul si et seulement si. Donc ça, si et seulement si, quand je développe tout, e2x plus 2e2x, petite identité remarquable, super 2e2x, si et seulement si, tout simplement là ça a le bon goût de dégager, et donc c'est très facile, ça nous fait e2x plus 1, positif ou nul. Et là on dit ça c'est toujours vrai, et vu que c'est toujours vrai, ça veut dire que f'2x est toujours positif. On a une équivalence ici, l'équivalence c'est-à-dire que la valeur de vérité est la même, comme là je sais par un fait extérieur, c'est-à-dire la positivité de la fonction exponentielle, je sais que cette phrase mathématique est vraie, elle a la même valeur de vérité que celle-ci et donc ça me prouve que f'2x est positif. Et donc ensuite j'ai plus qu'à faire, vu que f'2x est positif sur toute R, je ne vais pas vraiment m'embêter à faire le tableau complet, je vais juste écrire f croissante. Mon truc pour tout réel, x f2x égale cette chose-là, donc la première chose à faire dans cette question, c'est de remarquer qu'il y a x qui est commun, l'orgue de 4 qui est commun, et donc tout ce qui reste, c'est de montrer que 2-2e2x sur e2x plus 1 égale à ça. On va essayer de le faire. Calculons 2-2exp1x sur exp1x plus 1, si on fait ça on va voir si on tombe là-dessus. Donc 2-, vous déroulez le calcul en fait, donc très vite vous remarquez les trucs verts qui sont en commun, vous savez que ces deux expressions f2x et celle-ci sont les mêmes, pour ces termes-là en vert, il ne reste plus que ces deux-là à vérifier, espérons qu'en calculant on tombe dessus. Petit b, en déduisant l'ensemble des primitives, sous-entendu, il est pesable de trouver les primitives de cette fonction ici. x plus 2 plus l'orgue de 4. Forcément la primitive ça va être de x, c'est x² sur 2, ça c'est très simple, il n'y a pas de problème. Et ensuite ici j'ai 2 plus l'orgue de 4 qui est une constante, cette constante je vais juste la primitiver en la multipliant par x. Et enfin j'ai cette expression ici, moins 2 fois e2x sur e2x plus 1. Mais je reconnais, c'est ce que j'ai mis ici à connaître par cœur, il y a le moins 2 que je vais laisser tranquille si vous voulez, donc là j'ai moins 2, pas de problème, j'ai e2x sur e2x plus 1 qui correspond totalement à u' sur u, parce que e2x c'est la dérivée de e2x plus 1. Donc en fait je reconnais que cette partie-là c'est un u' sur u, et donc je peux l'intégrer comme un logarithme. Et donc en fait j'obtiens le logarithme de u, c'est le logarithme de e2x plus 1, plus K, avec un K appartenant à R. C'est l'ensemble des primitives possibles.

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