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Limites de Suites

Dans cette vidéo, nous abordons la notion de limite réelle en mathématiques. La limite réelle est la valeur vers laquelle une suite converge intuitivement lorsque n augmente. Pour être plus précis, nous utilisons la notion de couloir. Dans cette vidéo, nous expliquons ce qu'est un couloir autour de la limite et montrons qu'une suite peut converger de manière douce (croissance ou décroissance) ou chaotique.

Officiellement, on dit qu'une suite UN converge vers un réel L si tout intervalle autour de L (incluant L) finit par contenir tous les termes de la suite à un certain moment. Pour illustrer cela graphiquement, nous utilisons un graphique représentant la suite et un couloir de taille variable autour de la limite (2 dans cet exemple). Nous vérifions si tous les termes de la suite sont inclus dans le couloir à partir d'un certain moment. Si cela est vrai pour toutes les tailles de couloir, alors la limite est valide.

Nous illustrons ensuite cette idée en réduisant la taille du couloir de plus en plus. Si tous les termes de la suite sont inclus dans le couloir à partir d'un certain moment, cela signifie que les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de la limite (2 dans cet exemple), indépendamment de la taille du couloir. Nous démontrons également que cette notion de convergence peut s'appliquer à des suites croissantes, décroissantes ou oscillantes autour de la limite.

En résumé, cette vidéo explique la notion de limite réelle en mathématiques en utilisant la notion de couloir pour illustrer graphiquement cette idée. Nous montrons également que les suites peuvent converger de différentes manières vers leur limite, que ce soit de manière croissante, décroissante ou oscillante.

Pour cette première vidéo sur la définition des limites, je vais me concentrer sur la limite réelle. La limite réelle, c'est la valeur vers laquelle un va venir se coller intuitivement au fur et à mesure que n augmente. En maths, quand on veut faire un truc un peu plus précis que ça, on va utiliser la notion de couloir. J'ai envie de vous montrer deux choses dans cette vidéo. Premièrement, expliciter un peu ce que c'est que cette idée de couloir autour de la limite. Deuxièmement, vous montrer qu'on peut converger vers un réel de manière très douce, genre en croissant, en décroissant, mais aussi de manière plus chaotique. Voilà, c'est ça les deux points que je vais essayer de couvrir ici. Si on regarde tout d'abord la définition officielle de la limite, on vous dit UN va converger vers un réel L si tout intervalle autour de L, donc qui contient L, va finir par contenir tous les termes de la suite à un certain moment. Donc si ça c'est vrai, pour n'importe quel intervalle, alors on peut dire que L est bien la limite de UN. Là, je vais vous montrer de manière un peu plus graphique, parce que sinon ça ne va pas être très clair. Donc sur un graphique, on peut regarder, donc je fais un truc comme ça, je dézoome un petit peu. Voilà la suite que j'ai utilisée dans la vidéo d'intro. Je prends un couloir quelconque. Là j'ai un bouton pour fixer la taille de mon couloir, je m'arrête là. Voilà un couloir, un intervalle autour de ce qui me semble être la limite. La limite ici, on avait dit que c'était 2, donc je fais un couloir autour de 2. On va voir si j'arrive à chaque fois que je fais un couloir d'une taille quelconque à bien vérifier que tous les termes de la suite sont bien compris dans ce couloir à un moment. Alors est-ce que ici, pour ce couloir donné, j'ai bien tous les termes de la suite qui sont compris dans ce couloir ? À partir d'un certain moment, à partir de 3, donc si j'exclus le terme U2 qui est donc négatif ici, et U1 qui est encore plus bas, si j'exclus cela, je peux dire qu'à partir de 3, tous les termes de ma suite sont largement dans ce couloir. Cette petite vérification-là, l'idée de la limite, c'est que si je peux faire ça pour toute taille de couloir autour de 2, alors 2 est bien une limite. Ça veut dire qu'à terme, mes termes UN vont être de plus en plus proches que 2, et la distance peut être aussi petite que je veux, j'arriverai toujours à tous les avoir. Donc, pour vous expliquer un peu mieux, je vais réduire la taille du couloir. Si je réduis la taille du couloir assez drastiquement, comme ceci, est-ce qu'il est vrai qu'à partir d'un certain moment, tous les termes de ma suite sont dans ce couloir ? Oui, donc pour 4, c'est fichu, mais pour 5, 6, 7, etc., je vois que tous les termes de ma suite sont bien dans ce couloir. C'est l'idée de la définition. C'est-à-dire qu'en fait, si pour toute taille de couloir, c'est-à-dire aussi petit que je veux, je vais vérifier ça, ça veut dire que aussi petit, aussi proche que je veux être de 2, je pourrais toujours encore m'en rapprocher. C'est-à-dire qu'il y a toujours moyen d'avoir tous les termes qui sont à une distance de mon choix. Et c'est ça, ce coller de plus en plus. C'est ça la version mathématique. Je vais vous faire un petit exemple, c'est le deuxième point que je voulais faire, après cette explication de l'idée de couloir. Une petite démonstration, montrer un petit peu ce que ça donne pour des fonctions différentes. Là, je vous ai montré une suite qui monte gentiment. On peut faire d'autres exemples. Un autre exemple qu'on peut faire, c'est une suite qui va décroître. Une suite qui va décroître, si je cache celle-ci, ça sera une suite comme ceci. Je la base sur une fonction comme ça. Si je prends une suite décroissante, il est aussi possible de converger vers 2 en étant décroissant. C'est une suite qui se base sur un genre de 1 sur x comme vous voyez. C'est très possible. Donc ça, c'est deux cas qui sont assez clairs, assez simples. Je vous montrerai un autre cas de convergence vers 2. C'est un peu pour vous ouvrir l'esprit et pas que vous croyez qu'il n'y a que ces deux cas-là qui sont possibles. Un autre cas un peu plus bizarre, qui est un cas d'oscillation. Le cas d'oscillation, je vais enlever ça, c'est le cas suivant. Si j'ai une fonction qui oscille mais qui s'écrase au fur et à mesure, comme vous voyez ici. C'est vrai qu'en fait, dans la définition, on parle de couloir autour de 2. On ne dit pas qu'il faut absolument être en dessous de 2 ou au-dessus de 2. Il est possible d'osciller. Donc il est possible d'avoir une suite qui converge vers 2, c'est-à-dire pour laquelle à un certain moment, pour tout couloir, tous les termes vont être coincés dans le couloir. Il est possible d'avoir cette propriété pour une fonction qui n'arrive ni par en dessous, en train de croître, ni par au-dessus en décroissant, mais aussi en oscillant. Voilà. C'était un peu le dernier exemple que je voulais vous montrer. Vous avez compris normalement l'illustration de cette définition un peu moche avec la taille du couloir, etc. Et vous avez vu qu'il y a plusieurs manières de se faire coincer dans un couloir. Soit en arrivant en étant croissante, en étant décroissante, ou en oscillant autour de la valeur. Je vous retrouve dans la vidéo d'après. Si vous avez des questions ou besoin de précisions, n'hésitez pas à aller en parler, discuter dans la FAQ. Et je vous retrouve tout de suite.

Limite finie

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