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Limites de Suites

La convergence se réfère à la limite finie d'une suite. Lorsque vous avez une limite finie, elle est unique, ce qui signifie qu'une suite ne peut tendre vers deux valeurs différentes. Cependant, il est important de noter que le fait d'être divergent, c'est-à-dire de ne pas être convergent, ne signifie pas nécessairement tendre vers l'infini positif ou négatif. Il existe des cas où une suite peut osciller sans tendre vers une limite finie. Par exemple, la suite (-1)^(n) oscille entre -1 et 1 sans converger vers l'un ou l'autre. Bien que certains termes de la suite puissent sembler converger vers 1 ou -1, dans son ensemble, cette suite n'a pas de limite. Il est possible d'extraire des sous-suites pour lesquelles la convergence est observable, mais cela dépasse le cadre du programme scolaire. En résumé, la convergence d'une suite vers une limite finie est unique, mais il est également possible d'avoir des suites divergentes qui n'oscillent pas vers l'infini. Si vous avez besoin de plus de détails, n'hésitez pas à consulter la FAQ ou à discuter avec nous. À bientôt !

Dans cette vidéo, je veux compléter ce qu'on a déjà dit sur la convergence, sur la définition des limites par deux points importants. Le premier, c'est que quand vous avez une limite finie, elle est unique. En langage simple et non mathématique, c'est l'idée que si je me colle à un truc, si je viens me coller à une valeur, je ne peux pas me coller à deux valeurs, je me colle qu'à une valeur. Ça, c'est l'idée intuitive qu'il y a derrière. Le deuxième point, c'est un point de vocabulaire. J'ai dit qu'une suite était convergente, on utilise le mot convergence si vous voulez, quand on a une limite finie. Mais il faut faire très attention, on peut ne pas être convergent et pour autant ne pas tendre vers plus l'infini ou moins l'infini. Donc être divergent, c'est-à-dire non convergent, n'implique pas automatiquement d'aller vers plus ou moins l'infini. C'est pour ça que j'ai exprimé précisément, genre ici, la divergence, un cas de divergence en plus l'infini ou moins l'infini. En sous-entendu, il est possible de diverger, de non converger autrement. Alors ça a l'air un peu bizarre, vous allez me dire de quoi tu parles, si ça ne se tend pas vers là, ça va juste vers l'infini ou moins l'infini. Non, il va y avoir un cas un petit peu différent, qui est un cas d'oscillation encore une fois, que je vais illustrer cette fois-ci comme ça. Si je prends la suite par exemple, moins 1 puissance n, moins 1 puissance n elle vaut 1 quand n vaut 0, moins 1 quand n vaut 1, 1 quand n vaut 2, et ainsi de suite, et elle oscille. Moins 1 puissance n ne converge vers ni moins 1 ni 1, donc elle n'a pas de limite finie. Et pour autant, elle ne monte pas vers plus l'infini, elle ne diminue pas non plus, elle ne descend pas vers moins l'infini. Donc j'ai un exemple de suite, c'est bizarre, vous allez me dire ce truc qui saute un peu partout, mais bon, ça existe, qui diverge, c'est-à-dire qu'elle est non convergente, mais elle ne va ni vers plus l'infini ni vers moins l'infini, elle a juste un comportement d'oscillation permanent. Vous pourriez dire, ben oui, mais on pourrait dire qu'il y a une petite convergence pour les termes du haut, qui eux restent bloqués à 1, et une convergence pour les termes du bas. Ça, c'est un truc qui est vraiment hors programme au lycée, qui s'appellera extraire des petites suites, des sous-suites à partir de suites plus génériques. Alors on pourrait extraire les termes du haut et dire, ça tend vers 1, ça ne vaut que 1. Ce n'est pas faux. Mais pour la suite dans son entièreté, il n'y a aucune limite, aucune limite à l'horizon, il y a juste ces deux traits, et il n'y a pas de départ vers plus ou moins l'infini. Voilà, c'était le dernier exemple que je voulais vous donner. Si vous avez besoin de petits détails, si vous voulez en savoir plus, comme d'habitude, allez voir dans la FAQ, discutez avec nous, et je vous dis à la prochaine !

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