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Limites de Suites

Ce cours traite de la convergence et de la divergence des suites. Il aborde les outils pratiques à connaître tels que les puissances de n qui tendent vers l'infini, les puissances négatives de n qui tendent vers zéro, et les opérations sur différentes suites. Il est important de connaître les formes indéterminées, qui sont des cas où il n'y a pas de règle prédéterminée et qui nécessitent une approche cas par cas. Les formes indéterminées comprennent la somme, le produit et le quotient de deux suites qui tendent respectivement vers l'infini, zéro et l'infini ou zéro. Il est essentiel de mémoriser ces formes indéterminées et de les appliquer dans les exercices. En résumé, il est recommandé d'apprendre les tables par cœur et de se familiariser avec les différentes formes indéterminées.

Après qu'on ait vu toutes les définitions formelles de ce que c'est converger vers une limite finie ou même diverger vers l'infini ou diverger autrement voici un petit peu des outils plus pratiques que vous devez connaître dans le programme. Donc dans le programme ils ont envie que vous sachiez absolument que les puissances de n ça tend vers plus l'infini quand n tend vers plus l'infini donc c'est assez simple pour n, n², n³, tout ça ça tend vers plus l'infini. Deux choses que j'ai envie de noter c'est qu'on pourrait régler, on pourrait appeler cette première règle ici comme les puissances positives de n ont tendance, enfin tendent vers plus l'infini. Je dis les puissances positives parce que c'est pas uniquement les puissances entières, racine de n est là-dedans par exemple et racine de n on peut l'écrire, petit point de culture jeu que vous ne saviez pas, on peut l'écrire n puissance 1,5 donc en fait la règle générale serait les puissances positives de n quel que soit k positif, k un entier mais aussi quel que soit un rationnel en fait vont tendre vers plus l'infini. C'est assez intuitif, le petit point en plus que j'ajouterais c'est de dire qu'elles ont tendance à tendre de plus en plus fort lorsque la puissance augmente, n³ monte plus vite que n². Deuxième règle qui est ici, elle concerne les puissances négatives de n, c'est à dire si vous vous rappelez qu'on peut écrire 1 sur n égal à n puissance moins 1, c'est pour ça que j'appelle ça les puissances négatives mais en fait ici le comportement générique qu'on vous demande de retenir c'est vous avez compris que celle d'au-dessus tend vers plus l'infini, là on fait 1 sur ces trucs là, on se retrouve avec des choses qui sont 1 sur quelque chose de très gros, 1 sur plus l'infini. C'est assez logique que ça devienne tout tout petit et donc c'est pour ça que vous pouvez retenir que toutes ces fonctions là, toutes ces suites là, excusez-moi, tendent vers 0. Deuxième outil très très pratique qu'il faut connaître, c'est comment gérer quand vous avez des opérations sur différentes suites. Par exemple, vous pouvez avoir par exemple la somme de deux suites, si vous connaissez la limite des deux, avez-vous directement le résultat de la limite de leur somme ? Dans tous les cas, quasiment, sauf un, oui. On a une règle prédéterminée, c'est-à-dire que si un tend vers l, vn tend vers l', leur somme un plus vn tend vers l plus l'. Les colonnes 2 et 3 vous donnent juste l'idée que quand il y en a une qui tend vers plus ou moins l'infini et l'autre qui tend vers une limite finie, c'est l'infini qui l'emporte, parce que 3 plus l'infini, ça fait l'infini. Les colonnes 4 et 5 sont simples aussi, quand les deux tendent vers plus l'infini, le tout va vers plus l'infini, quand les deux tendent vers moins l'infini, le tout va vers moins l'infini. Pour la dernière colonne, on a un petit problème. On appelle ça une forme indéterminée, donc j'ai envie de vous définir maintenant ce que c'est ce qu'on appelle une forme indéterminée. Il y a souvent de la confusion là-dedans pour les élèves, et c'est assez important que vous compreniez quand même la nuance. Alors, une forme indéterminée, c'est pas quelque chose d'inconnu, qui fait peur, c'est pas quelque chose de flippant. C'est juste qu'il n'y a pas de règle prédéterminée, il faut y aller au cas par cas. Je vais vous donner trois petits exemples qui vont vous faire comprendre ça. Donc, imaginons, tout d'abord, le premier truc qu'on pourrait prendre c'est deux suites, une qui tend vers, alors laissez-moi m'écarter un petit peu, une qui tend vers plus l'infini, ça serait petite n, cette suite là, très basique, et une qui tend vers moins l'infini qui serait moins n. n plus moins n, j'ai bien un qui tend vers plus l'infini, vn qui tend vers moins l'infini, donc j'ai une de chaque, la somme fait zéro, de manière évidente, et le tout tend vers zéro. Un deuxième cas très simple, je prends cette fois-ci, comme un, je prends 3n, et comme vn, toujours moins n. Cette fois-ci, la somme de deux fait 2n, et tend vers plus l'infini. J'ai donc deux cas qui respectent les conditions dont on parle, c'est-à-dire une qui tend vers plus l'infini, à laquelle je somme une autre, donc une vn, qui tend vers moins l'infini, et pourtant, elles ont deux résultats différents, c'est-à-dire une qui tend vers zéro, une vers plus l'infini. Et enfin, j'ai bien un dernier cas, où je prends cette fois-ci n plus moins 3n, et cette somme-là tend vers moins l'infini. Donc c'est ça, une forme indéterminée, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de règle a priori, les trois peuvent arriver, et c'est à vous de voir au cas par cas. Il y aura d'autres formes indéterminées à connaître, c'est-à-dire, pour le produit de deux suites, on voit qu'il y en a aussi un type, c'est quand vous avez une suite qui tend vers zéro, qui est multipliée par une suite qui tend vers l'infini. Là, je vous ai mis un petit exemple, pareil, pour comprendre. C'est, vous prenez 1 sur n fois n, ça tendra vers 1, 1 sur n2 fois n, ça vaut 1 sur n, ça tend vers zéro, 1 sur n fois n2, ça vaut n, ça tend vers plus l'infini. Les trois sont possibles. Donc voilà, c'est ça une forme indéterminée, il faut les connaître, c'est très important de les connaître, parce qu'il faut absolument les reconnaître dès que vous les voyez dans un exo, et savoir que, hop, attention, là j'ai une méthode à appliquer, sûrement une des méthodes de formes indéterminées qu'on verra. Enfin, il y a le quotient de deux suites, là je n'ai pas mis d'exemple, vous pouvez les construire tout seuls, où il y a deux formes indéterminées, cette fois-ci, il y aura deux fois plus de travail, c'est-à-dire, soit quand vous avez plus infini sur plus infini, soit quand vous avez zéro sur zéro. Là, ce sont ces quatre cas-là qu'il faudra retenir et auxquels il faudra prêter attention. Donc sur ce point du cours, c'était assez simple à parcourir, vous avez surtout, vous, votre travail de votre côté, c'est d'apprendre ces tables. D'apprendre ces tables, de retenir un petit peu la règle sur les puissances de n, et ensuite d'apprendre ces tables par cœur. Je vous ai mis des petits exemples pour illustrer ça, apprenez les tables par cœur, retenez quelles sont les quatre formes indéterminées, plus infini ou moins l'infini pour la somme, zéro fois plus l'infini ou zéro fois l'infini en négatif pour le produit, et ensuite le quotient de l'infini sur l'infini ou le quotient de zéro sur zéro. Si vous retenez ces quatre-là, vous êtes bon et prêt pour les exos. Je pense que c'est assez clair, n'hésitez pas, si vous avez des questions, des précisions, à aller voir ce qu'il se dit dans la FAQ, et je vous retrouve pour la vidéo d'après.

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