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Limites de Suites

Dans cette vidéo, nous abordons le sujet des suites géométriques et leurs différents comportements en fonction de la valeur de la raison (Q). 

Tout d'abord, lorsque Q est supérieur à 1, on nous dit que Q à la puissance n tend vers l'infini. Cela est illustré en prenant l'exemple de Q égal à 3, où chaque terme de la suite augmente de plus en plus. Ce comportement peut être démontré à l'aide de l'inégalité de Bernoulli. 

Ensuite, lorsqu'on a une raison entre -1 et 1 (pour le cas positif), on observe que la suite se rapproche de plus en plus de zéro. Par exemple, avec Q égal à 0,5, chaque terme de la suite diminue de moitié à chaque étape, et finit par converger vers zéro. Ce comportement est intuitive, car on enlève un petit bout à chaque fois.

Pour le cas négatif, où Q est strictement inférieur à -1, on observe un comportement plus complexe. La suite oscille entre des valeurs positives et négatives, mais converge tout de même vers zéro. Par exemple, avec Q égal à -0,7, on voit que certains termes sont positifs tandis que d'autres sont négatifs, mais l'ensemble de la suite se rapproche de zéro. 

Finalement, le cas où Q est égal à 1 est trivial, car tous les termes de la suite sont égaux à 1. 

En résumé, lorsque la raison est proche de zéro (-1 < Q < 1), la suite converge vers zéro, soit en oscillant, soit non. Lorsque la raison est supérieure à 1 ou inférieure à -1, la suite s'écarte de zéro, soit en tendant vers l'infini, soit d'une manière plus complexe en s'écartant des deux côtés à la fois.

Je voulais vous faire une première vidéo sur l'intuition un petit peu derrière la convergence ou la divergence des suites géométriques. Une suite géométrique c'est défini par une raison, Q, et selon les valeurs de cette raison, il y aura plusieurs comportements possibles. On va démontrer chacun de ces comportements, mais on va commencer par les illustrer et essayer de les comprendre intuitivement. Quand Q est plus grand strict que 1, on nous dit que Q puissance n s'attend vers puissance infinie. C'est pas absurde, si vous prenez Q égale 3, on a 3, puis 3 fois 3, 9, 3 fois 3, 27, 3 fois 3, 3 fois 3, 81, ça augmente de plus en plus, on sent que ça monte très fort. Pas de problème, ça on pourra le démontrer avec l'inégalité de Bernoulli. Si Q est entre moins 1 et 1, pensons-y pour le cas positif, prenons Q égale 0,5, c'est-à-dire que Q égale 0,5, je prends la moitié à chaque fois, je fais 0,5, fois 0,5, fois 0,5. Imaginez un gâteau, je prends la moitié, ensuite je reprends la moitié de ce gâteau, puis la moitié, puis la moitié, puis la moitié, et je le fais à l'infini, il n'a plus rien resté. On comprend l'intuition que quand je prends un nombre qui est plus petit que 1, j'enlève un petit bout à chaque fois de ce que j'avais précédemment, et donc à force d'enlever des petits bouts, je me retrouve avec 0. Le cas négatif, je vais l'illustrer, ça sera un peu la même chose. Si Q égale 1, alors que Q puissance n c'est égal à 1, donc oui ça converge vers 1, c'est un cas trivial. Si Q est plus petit que moins 1, ça c'est intéressant. C'est un cas où on nous dit que Q puissance n n'a pas de limite. Donc ça diverge, mais ça ne va pas vers plus l'infini ou moins l'infini. Ça fait quelque chose de bizarre. Essayons d'illustrer chacun de ces cas, je vais vous montrer avec un graphique à chaque fois ce que ça donne. Donc par exemple, le premier graphique qu'on peut faire c'est pour 2 puissance n par exemple. 2 puissance n, c'est pas très compliqué, c'est un truc comme ça. Ce qu'on peut voir quand je les trace un par un, c'est que j'ai le premier ici, le deuxième, le troisième, le quatrième, le cinquième. Ça ne fait qu'augmenter en puissance de 2 par exemple, et ça illustre bien que ça va vers plus l'infini. Pour le cas entre moins 1 et 1, je vais commencer par le cas positif. Pour le cas positif, on peut tracer quelques points comme ça, où je prends 0,7 par exemple, pour la raison. Et je peux tracer les points au fur et à mesure que je vois qu'ils vont s'écraser de plus en plus vers 0. Bon, la suite va s'écraser clairement, ça tombe vers 0, c'est parfait. Voyons maintenant ce qu'il se passe pour le cas négatif. Le cas négatif n'est pas aussi simple, pas aussi joli. Le cas négatif c'est quoi ? Si on a 0,7, et je vais prendre maintenant moins 0,7 comme raison négative. Donc j'aurai moins 0,7 pour le premier terme, moins 0,7 fois moins 0,7 pour le deuxième, donc c'est quelque chose de plus petit mais aussi qui change de signe. Parce que cette fois-ci j'ai moins fois moins, donc ça va faire plus. Et je vois que le troisième terme, j'aurai moins 0,7, moins 0,7, moins 0,7, cette fois-ci j'aurai 3 moins. Et je me rends compte que j'aurai un peu une variation de comportement en termes de signes. Ce que ça va donner ce truc-là, c'est un truc comme ça. Donc laissez-moi le tracer petit à petit. Si je prends moins 0,7 puissance 1, j'obtiens ça. Moins 0,7 puissance 2, j'obtiens quelque chose de plus proche de 0, mais de positif. Moins 0,7 puissance 3, ça revient du côté négatif parce que j'ai 3 signes moins. Moins 0,7 puissance 4, etc. Je me retrouve avec quelque chose qui va osciller mais converger vers 0. Donc si je compare ça avec le truc d'avant, je vois qu'en fait ces suites ont des points communs. Ce sont les points qui sont du côté des puissances paires pour la suite verte. C'est-à-dire quand il y a un nombre paire de signes moins. Donc les deux convergent. Quand c'est positif, ça converge directement, comme ça. Quand c'est négatif, ça a tendance à converger en oscillant autour de 0. Très bien. Donc le k égale 1, tu es égal à 1, je n'aime pas l'illustrer, il n'y a pas besoin. C'est juste que ça vaut 1 tout le temps. Et ce qui est intéressant, c'est le cas comme ça. Le cas où la raison va être négative mais plus petite que moins 1. C'est-à-dire qu'on va avoir, par exemple, moins 1,2. Si j'ai moins 1,2, j'obtiens tout d'abord ce point là, moins 1,2. Je sais que si j'étais en positif, ça ferait 1,2 fois 1,2 fois 1,2. Vu qu'on est au-dessus de 1, ça ne fait que s'accumuler et grossir. Mais ici, je vais avoir cet effet d'accumulation et de grossissement. C'est-à-dire que je vais m'écarter de 0, mais pas toujours du même côté. Donc je vais m'écarter de 0 en positif de temps en temps et en négatif de temps en temps. Ce que ça fait, c'est que le premier terme, c'est quelque chose de négatif. Le deuxième terme va être un peu plus loin que 0, mais du côté positif. C'est-à-dire un point qui va être ici, par exemple. Hop, comme ça. J'étais un peu trop vite. Le troisième point va être comme ça. Puis comme ça. Puis comme ça, etc. Et si je continue et que je les trace tous, je vois que j'ai un point par point qui va commencer à s'afficher de cette manière. Donc tous mes points vont commencer à s'afficher et à partir, à diverger de chaque côté. Et donc en fait, ce truc-là, ce truc-là, quand on dit qu'il n'y a pas de limite, c'est qu'en fait, oui, on comprend qu'un terme sur 2, je m'écarte de plus en plus de 0 vers le haut. Et l'autre terme sur 2, ça aussi, je m'écarte de plus en plus de 0, mais vers le bas. Voilà, c'était la petite illustration que je voulais vous faire. Au moins, là, vous avez en tête les différents cas. Je pense que c'est important de comprendre peut-être visuellement ce qui se passe. Retenez, quand on est proche, le plus proche on est de 0 pour la raison, c'est-à-dire entre moins 1 et 1, ça va converger, ça va devenir de plus en plus petit. Soit en oscillant, soit en oscillant pas. Et pareil, au-dessus de 1 ou en dessous de moins 1, ça va s'écarter de 0. Soit vers plus l'infini, soit de manière un peu bizarre, en s'écartant des deux côtés à la fois avec un terme sur 2. Voilà, c'était une petite illustration. Je vais passer à la démonstration dans la vidéo suivante.

Suites géométriques - illustration

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