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Limites de Suites

Dans cette vidéo, nous démontrons les intuitions sur la limite des suites géométriques pour plusieurs cas. Si q est plus grand que 1, nous utilisons l'inégalité de Bernoulli et le terrain de comparaison pour montrer que la limite de q puissance n tend vers plus infini. Pour le cas où q est entre 0 et 1, nous posons p égal à 1 sur q et appliquons le résultat précédent pour montrer que p plus s enseigne tend vers plus infini et donc que q plus s enseigne tend vers 0. Enfin, pour le cas où q est entre moins 1 et 0, nous utilisons le théorème des gendarmes pour montrer que q puissance n tend vers 0. La démonstration est à savoir par cœur dans le programme.

Dans cette vidéo nous allons démontrer les intuitions qu'on a vu graphiquement sur la limite des suites géométriques. Alors il y aura plusieurs cas. Premier cas, que que plus grand strict que 1. On va démontrer que qui s'enseigne tend vers plus infini. L'idée ici c'est d'utiliser deux grandes parties du cours, deux grands points du cours. D'un côté l'inégalité de Bernoulli, de l'autre le terrain de comparaison. Q plus grand que 1, on va s'amuser à écrire ça q égale 1 plus h. C'est un truc de math, on aime bien comparer plutôt à 0 qu'à autre chose. J'aurais par exemple q plus grand que 2, on pourrait poser q égale 2 plus h avec petit h positif. C'est utilisé couramment, ici ça va nous permettre d'appliquer tout bêtement l'inégalité de Bernoulli. Q plus s enseigne, ça sera donc égal à 1 plus h plus s enseigne. 1 plus h plus s enseigne, h étant positif. Je suis dans les conditions d'utilisation de l'inégalité de Bernoulli. Et je peux écrire que 1 plus h plus s enseigne est plus grand ou égal que 1 plus n h. 1 plus n h c'est une suite très simple, une suite arithmétique de raison positive. Je sais qu'elle tend vers plus infini. Le terrain de comparaison qu'est ce qui dit, si j'ai une suite qui est plus petite qu'une autre, et que la petite tend vers plus infini, elle entraîne avec elle la plus grosse. C'est ce qui se passe ici. On va utiliser le terrain de comparaison. 1 plus h plus s enseigne va tendre vers plus infini, donc q plus s enseigne tend vers plus infini. Le reste ça coule de source également, puisqu'en fait on va juste se rapporter au cas précédent à chaque fois. Par exemple pour q entre 0 et 1, on va juste poser p égal 1 sur q, c'est encore une astuce de matheux. Faut retenir les matheux c'est toujours au plus profond de leur âme, déglendus. Donc ils n'ont pas envie de faire trop d'efforts. Et comme ils n'ont pas envie de faire d'efforts, ils se disent bon j'ai déjà démontré un truc, je vais le réutiliser au maximum et je vais faire moins d'efforts possibles. Si je pose p égal 1 sur q, je me retrouve avec un p qui est lui plus grand que 1 justement. A ce p particulier, je peux appliquer le résultat d'avant. P plus s enseigne est plus grand que 1, donc avec p plus grand que 1, je peux appliquer le résultat d'avant et dire p plus s enseigne tend vers plus infini. Or q plus s enseigne c'est juste 1 sur p plus s enseigne, ce qui nous fait tout bêtement 1 sur p plus infini, entre guillemets, et ça fait 0. Le dernier cas, je vais me bouger un peu. On va utiliser cette fois-ci le même genre d'esprit, c'est à dire qu'on va essayer de s'inspirer du cas précédent et on va appliquer le théorème des gendarmes. Le théorème des gendarmes c'est un peu le théorème de comparaison mais pour une limite finie. C'est à dire que si on arrive à encadrer par deux suites, une certaine suite, si on a une au milieu de deux qui converge chacune vers quelque chose, hop, elles vont la forcer à converger aussi. Imaginez que celle-ci tend vers 0, celle-ci tend vers 0, celle au milieu va tendre vers 0 aussi, elle n'a pas le choix. Donc je vais appliquer ce théorème des gendarmes à la suite. Alors à quelle suite justement? On va poser s égale moins q. On a q ici entre moins 1 et 0, donc encore un cas proche de 0 mais négatif cette fois. On pose s égale moins q, exprès pour se rapporter au cas précédent. Si s égale moins q, je sais tout de suite avec la case numéro 2 qui est là-bas, que s puissance n va tendre vers 0. Donc ensuite j'ai écrit q puissance n, q puissance n c'est donc moins 1 puissance n fois s puissance n, le moins 1 peut sortir de la parenthèse. Enfin oui, voilà, je peux faire un produit de puissance quoi. Et donc là, c'est facile pour moi de conclure. Je sais que q puissance n est compris entre moins 1 fois s puissance n et 1 fois s puissance n. Le théorème des gendarmes s'applique. Le s puissance n et le moins s puissance n, tous les deux convergent vers 0. Ils emportent dans leur convergence q puissance n qui est au milieu. Bon c'est ainsi qu'on fait la démonstration des trois formules. C'est assez rapide, il y en a une vraiment forte, c'est à dire q plus grand que 1, c'est à dire une où on apporte vraiment du contenu, on utilise l'individualité de Bernoulli, etc. Les deux autres ce sont en fait des manières astucieuses de pas trop faire d'efforts et d'avoir 3 pour le prix d'un. J'espère que ça va à peu près, que c'est très clair. C'est une petite démonstration mais elle est à savoir par cœur dans le programme. Donc n'hésitez pas, dites moi si vous avez des questions, si vous avez des doutes sur quelque chose. Dans la FAQ comme d'hab, posez des questions, discutez et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Suites géométriques : démo

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