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Produit Scalaire

Le cours traite des propriétés fondamentales du produit scalaire. Le produit scalaire est défini comme le produit de deux vecteurs, qui est égal à la norme des vecteurs s'ils sont dans le même sens et moins le produit des deux normes s'ils sont dans des sens opposés. Si les vecteurs ne sont pas alignés, le produit scalaire sera égal à la version projetée du vecteur sur l'autre. Le cours utilise l'exemple d'un losange pour illustrer ces concepts et calcule plusieurs produits scalaires en utilisant la projection. Il rappelle également que le produit scalaire de deux vecteurs est nul s'ils sont orthogonaux. Enfin, le cours insiste sur l'utilité de la projection pour calculer des produits scalaires plus facilement.

Première méthode, c'est l'occasion d'un petit rappel des propriétés fondamentales du produit scalaire. Qu'est-ce que c'est le produit scalaire? Si je devais l'expliquer simplement, j'irais imaginer que j'ai envie de définir le produit de deux vecteurs. Si ces vecteurs sont dans le même sens, je pourrais dire qu'un certain produit de ces deux vecteurs, donc u.v, ce qu'on va appeler u scalaire v par la suite, ça serait tout bêtement le produit de leur norme. Bon, ensuite s'ils sont dans l'autre sens, c'est-à-dire chacun dans un sens opposé à l'autre, je pourrais dire que le produit de ces deux vecteurs, donc ce produit scalaire que je définis maintenant, serait moins le produit des deux normes. Ensuite la question légitime, ça serait, oui, mais s'ils ne sont pas alignés, mais qu'il y en a un qui part un peu avec une certaine direction. Dans ce cas, ce qu'on pourrait dire, c'est ce qu'on va définir, c'est que u.v, donc ce produit, sera en fait égal à la version projetée du vecteur u sur le vecteur v, et on dirait que le u.v sera parfaitement égal au produit scalaire u'.v, ce qui nous fait revenir à la situation numéro 1. Donc pour tout vecteur qui ne serait pas aligné, qui n'aura pas le bon goût d'être aligné, on va se rapporter cette définition et dire, tous ceux qui sont un peu dans une direction différente, on pourra dire que leur produit scalaire avec v sera le même exactement que celui de leur projection sur v. Donc on pourra dire u'.v égal u''.v. Donc là on a un exercice qui va se baser uniquement sur ces propriétés de projection. On a un losange de centre haut de côté 5 avec des diagonales de mesure 8 et 6. Il y a une figure ici, la diagonale fait 8, la demi-diagonale fait 4, ce que j'ai indiqué ici, l'autre diagonale fait 6, j'ai appliqué 3. On reconnaît déjà un triangle rectangle très classique, 3, 4, 5 ici. Comment je sais qu'il y a un rectangle? C'est un losange. Si j'ai un losange ici, par définition je sais que c'est une définition du losange, ces diagonales se coupent en leur milieu de manière perpendiculaire. Donc moi on me demande quoi? On me dit, calculez le produit scalaire suivant Ca.ab. On va répondre tout de suite, donc Ca.ab, si vous regardez, on parle de quel vecteur? On parle de Ca dans ce sens là,.ab. Le premier truc que je vais faire c'est étudier quel est le projeté de Ab sur Ca. Le projeté de Ab sur Ca, ce serait ce petit vecteur Ao. Je vais donc pouvoir remplacer Ab par Ao et dire, je sais que ça c'est égal à Ca.Ao. Ca et Ao sont dans des directions opposées, comme le cas numéro 2 que j'ai présenté avant, donc tout bêtement je vais pouvoir dire que c'est égal à moins la norme de Ca, fois la norme de Ao. Ca tombe bien, puisque les normes de Ca et Ao je les connais. Ca c'est 8, Ao c'est 4, le tout fait moins 4 fois 8, moins 32. Si on continue avec le petit b, ça c'était le petit a, petit b c'est Ac scalaire Bd. Ac scalaire Bd, même travail, on va regarder quel est le vecteur Ac. Ac c'est celui-là, Bd c'est celui-ci. C'est intéressant parce que le projeté de Bd sur Ac, si je projette pour voir en haut qu'est-ce qu'il reste, imaginons que j'avais un vecteur non pas Bd, si j'avais un vecteur comme ça et que je projetais, il me resterait ce petit vecteur-là. Si j'avais un vecteur comme ça, il me resterait un petit vecteur-là. Mais ici ce qu'il se passe c'est que Bd est orthogonal à Ac. Donc si je veux faire un projeté orthogonal, c'est comme si le tout se recroquevillait juste sur le point O et qu'il ne me restait en fait rien du tout. Je vais avoir une projection quand j'ai deux vecteurs comme ceci. Je vais le faire avec plusieurs exemples. Quand j'ai un vecteur U comme ça, ça ça serait U et ça ça serait V par exemple, ça va être égal à V' scalaire U avec un petit V' ici. Mais plus ce vecteur V va être proche de l'orthogonalité, plus je vais avoir un tout petit vecteur ici. L'idée en gros c'est que quand on a deux vecteurs au départ qui sont parfaitement orthogonaux, ça me fera un produit scalaire nul. Quand j'ai ça comme ça, et que j'essaie de voir quelle est la version projetée de V, il ne me reste plus qu'un point et donc le total du produit scalaire fait 0 parce que la norme d'un des deux vecteurs vaut 0. C'est un peu une longue explication pour vous dire que quand ils sont orthogonaux, grâce à cette idée de projection, on retrouve la propriété bien connue du cours sur les produits scalaires que deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul. c'est dA.cB, donc dA c'est ici, cB c'est ici. Ils sont dans le même sens, dA.cB ce sont en fait deux fois le même vecteur, dA et cB c'est deux représentations du même vecteur. Ils sont parallèles parce que c'est un losange, donc je peux écrire tout de suite dA.cB égale la norme de dA fois la norme de cB, ce qui est égal à la norme de dA au carré, et je vois ici que c'est 5 fois 5 égale 25. Enfin, petite idée, je vais finir là-dessus, ac.dc, ac est ici, dc est ici, ça ressemble pas mal à ca.ab. Là on a ac.dc, ça va être un peu le même délire, c'est que ac.dc je vais pouvoir remplacer par le projeté de dc sur ac, le projeté de dc sur ac coc. Je vous dis que ac.dc, je remplace dc par sa projection sur ac qui est donc oc, c'est donc ac.oc, et cette fois-ci ça ne vaut pas moins 32, parce qu'ils sont dans le même sens, ça vaut plus 32. J'espère que c'était bien clair, pour moi le plus important ici c'était le rappel de ces trois propriétés, et l'idée ensuite qu'on peut calculer facilement des produits scalaires en utilisant le projeté. Je vous laisse pour la prochaine méthode, à la prochaine!

Définition de base : avec projeté

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