Home

Première

Maths

Géométrie

Produit Scalaire

La méthode enseignée est une manière d'utiliser la formule classique du produit scalaire AB scalaire AB qui est le produit des normes fois le cosinus de l'angle qui sépare les deux vecteurs. Pour l'appliquer, on prend l'exemple d'un triangle OAB avec OA=5 et OB=3, et on calcule le produit scalaire OA scalaire OB pour différentes valeurs de l'angle theta, soit pi sur 3, pi sur 4, et 5pi sur 6. Pour calculer le cosinus de theta, on utilise des rappels de trigonométrie. Pour le cas de 5pi sur 6, il est expliqué que le produit scalaire peut être négatif à cause de l'angle obtus du triangle. Cette méthode est présentée comme une manière d'illustrer le cours, plutôt qu'une résolution de problème.

Une méthode qui est juste une bonne excuse pour revoir la formule la plus classique du produit scalaire qui est AB scalaire AB égale le produit des normes fois le cosinus de l'angle qui sépare les deux vecteurs. Donc vraiment une formule ultra classique qu'on peut démontrer facilement à partir de la définition du produit scalaire par les projections en utilisant la norme de AB prime le vecteur projeté ici. Je ne vais pas la faire là mais la démonstration est assez simple et cette formule est vraiment très canonique à connaître et à maîtriser. Application directe on nous dit soit un triangle OAB dont je l'ai tracé ici avec OA qui vaut 5 et OB qui vaut 3. Bon j'ai fait à peu près la figure on a OA ici et OB. Calculez le produit scalaire OA scalaire OB pour ABC 3 petit k avec delta pardon theta égale l'angle de theta, oups je m'écarte un peu, égal pi sur 3 ici, pi sur 4 puis 5pi sur 6. Donc tout bêtement on peut écrire la formule déjà ici, on a OA.OB égal norme de OA norme de OB 5 fois 3 donc 15 fois le cosinus de l'angle theta. Tout ce qu'on a à faire maintenant c'est calculer le cosinus de theta pour les trois angles proposés. Donc pour pi sur 3 on trouve 15 fois cos pi sur 3 qui vaut 1 demi, ça fait donc 15 demi. Cos pi sur 4 vaut racine de 2 sur 2 donc pour le cas petit b on trouve ça, 15 fois racine de 2 sur 2. Et pour le cas petit c on a 5pi sur 6. Je vais vous faire un petit rappel, donc avant de vous montrer la réponse que j'ai déjà tracée malheureusement, juste un petit rappel de trigo. Sur un cercle trigo 5pi sur 6 on sent que ça va être lié au pi sur 6 en gros. Si je fais un petit cercle trigo comme ça, je sais que pi sur 6 est ici, donc ça c'est pi sur 6, et je connais tout ce qu'il faut sur pi sur 6, sinus cosinus etc. Ici j'ai pi donc je comprends que juste avant pi, donc pi sur 6 avant pi j'ai 5pi sur 6. C'est parfait, je connais le cos de pi sur 6 qui vaut racine de 3 sur 2, ici. Et donc en face cos de 5pi sur 6 ça sera moins le cos de pi sur 6, donc moins racine de 3 sur 2. C'est pour ça que j'obtiens cette réponse là. Je vais faire une figure aussi pour vous montrer, je vais vous faire une figure du triangle. Comment c'est possible que dans un triangle OAB comme ça, on ait en fait un produit scalaire qui soit négatif? Parce qu'on a un signe moins ici. En fait là la figure n'est plus adaptée, la figure était adaptée pour les cas avec des angles plus petits que pi sur 2. Si l'angle ici était par exemple rectangle, j'aurais un triangle rectangle. Quand l'angle dépasse pi sur 2, en fait j'ai une figure comme ça. Donc dans le cas petit c, quand on me dit prenez une figure avec tétaille à 5pi sur 6, voilà à quoi ressemble ma figure. Ça c'est à peu près 5pi sur 6. En gros un truc, c'est pas exactement pi donc c'est pas un triangle plat, mais c'est un triangle avec un angle plus grand que 90°. Et on voit bien ici que si on prend le vecteur OA ici, le vecteur OB ici, quand on projette le vecteur OB, j'ai une projection qui se fait dans un sens opposé à OA, et donc on retrouve bien l'idée d'un produit scalaire négatif. Donc voilà, application directe, pour moi c'est une question de cours, c'est vraiment une manière d'illustrer et de vous aider à apprendre le cours. Posez des questions s'il y a besoin et je vous retrouve dans une prochaine méthode. A toute suite!

Définition avec le cosinus

RELATED

Recommended videos

Définition de base : avec projeté

Définition avec des coordonnées