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Produit Scalaire

Cette méthode utilise deux formules de produits scalaires pour calculer un angle entre deux vecteurs dans un repère orthonormé. La formule pour trouver le produit scalaire est U scalaire V égal à la coordonnée de U multipliée par la coordonnée de V, soit le produit de leurs abscisses plus le produit de leurs ordonnées. Pour trouver l'angle NMP, on doit calculer les coordonnées de MN et MP, puis calculer leur produit scalaire. En utilisant la formule cosinus=NMP/∥ MN ∥∥ MP ∥, on peut trouver la valeur du cosinus de l'angle et l'approximer à 0,01° près. La méthode peut être utilisée pour résoudre des exercices de mathématiques de différents niveaux.

Une méthode extrêmement classique qui utilise la combinaison de deux différentes formules de produits scalaires, c'est à dire deux manières de calculer un produit scalaire pour déduire la valeur d'un angle. Donc petite révision, pour une nouvelle définition du produit scalaire, on vous dit dans un repère orthonormé, donc un repère comme ce qu'il y a de plus normal, avec un axe des X, un axe des Y, etc. Quand on a donc un repère orthonormé avec un vecteur U et un vecteur V, chacun ayant ses propres coordonnées, donc un vecteur U de coordonnée XY, un vecteur V de coordonnée X'Y'. Il est très très simple de calculer la valeur du produit scalaire de ces deux vecteurs. On écrit U scalaire V égale coordonnée de U scalaire coordonnée de V, donc là ça revient à dire U scalaire V, c'est juste qu'on les écrit sous forme de coordonnées, c'est égal à le produit de ces deux-là, le produit de leurs abscisses, plus le produit de leurs ordonnées, donc X'Y'Y'. C'est ça qui va nous servir à calculer l'angle entre deux vecteurs, enfin un angle entre trois points si vous voulez. Donc on nous parle d'un angle NMP, ça veut dire que j'ai envie de penser au vecteur MN et au vecteur MP, parce qu'on me parle d'un angle qui est centré sur M. Donc tout de suite, si je fais une petite figure théorique, on parle donc d'un vecteur MN et d'un vecteur MP. Et donc ça veut dire que si j'arrive à trouver, grâce aux coordonnées, la valeur du produit scalaire entre MN et MP, je pourrais ensuite accéder à la valeur du cosinus de l'angle entre MN et MP. Donc la définition qu'on a déjà vue c'est MN scalaire MP égale le produit des normes fois cosinus de l'angle. Ce qui va se passer ici, c'est que grâce aux coordonnées, je vais pouvoir calculer MN, la norme, la norme d'un vecteur c'est assez simple, la norme de MP, en effet j'ai bien les coordonnées de MN et MP donc ça va être très facile. Je vais aussi pouvoir calculer grâce à cette formule le produit scalaire MN scalaire MP, et tout ça va me donner la valeur du cosinus, parce que si je calcule ça, ça et ça, je peux trouver cosθ super simplement. Et ensuite pour l'approximation à 0,0,1°, je vous laisserai la faire à la calculette, il suffit de rentrer la valeur du cos dans la calculette et on vous donne la valeur de l'angle. Donc si on fait le calcul ici, ça c'est en gros l'intuition de ce que je vais faire, on peut écrire or, et on va écrire en gros les coordonnées de chacun des vecteurs. Comment on fait pour trouver les coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées des points? On fait les coordonnées pour le vecteur MN de N moins celle de M pour les X et pour les Y. Donc pour MN on a (-3, -)1, ça fait (-4 sur les X), et pour les Y on fait 2, -5, donc (-3). C'est très bien. Ensuite on a pour MP, on fait le même processus, ça fait (-3, -)1, on va à (-4 sur les X), et ensuite à 0, -5, (-5 sur les Y). Bon, pour calculer le produit scalaire, on fait juste la formule précédente, MN scalaire MP égale le produit des X plus le produit des Y, ça fait donc (-4, -)4, ça nous fera 16, plus (-3, -)5, ce qui nous fait 15, 16 plus 15, 31. On a ensuite la norme de MN, qu'on peut calculer tout bêtement grâce à la formule qu'on connait de la norme d'un vecteur, on dit que la norme de MN c'est la racine de (-4 au carré, sa valeur du X, plus sa valeur du Y, ou de (-3 au carré), ça on reconnaît, ça fait 16, plus 9, 25, le tout fait 5. Et on peut faire la même chose avec MP. MP, ça sera racine de (-4 au carré, plus -)5 au carré, ça fait donc racine de 16, plus 25, pas très joli, ça fait racine de 41. Donc moi qu'est-ce que j'ai? J'ai l'ensemble de tous les éléments qui me sont nécessaires, je vais dupliquer cette formule là, je vais pouvoir dire, c'est parfait, je remplace, MN.MP c'est 31, égale 5 fois racine de 41, fois cosθ, θ étant l'angle NMP. Quand je suis là c'est parfait, j'obtiens cosinus de NMP, c'est un peu laid encore une fois, 31 sur 5 racines de 41, égale 31 racines de 41, on n'aime pas avoir des racines au dénominateur, sur 5 fois 41 ce qui fait 205. Voilà. Peut-être pas très élégant comme résultat au final, mais la méthode est toujours la même, retenez bien les étapes. Vous savez que quand vous avez les coordonnées, vous pouvez calculer le produit scalaire, qui est ici, en utilisant ensuite cette formule avec le cosinus, vu que vous avez les coordonnées, vous pouvez aussi calculer les normes, comme vous calculez le produit scalaire avec cette formule, et vous calculez les normes juste en calculant les normes d'un vecteur, vous pouvez alors avoir accès à la valeur de cosθ. C'est ce que j'ai fait ici, étape 1, on écrit les vecteurs, ensuite on calcule des produits scalaires, et des deux normes, on n'a plus qu'à remplacer et trouver le cosinus. A vous ensuite de mettre dans la calculette ce cosinus, pour trouver la valeur de θ à 0,01° près. Donc méthode très classique, très simple, qui tombe très souvent, dans pas mal d'exos, même de niveaux plus élevés, donc il faut savoir la faire, je vous conseille de recommencer, de me poser des questions si besoin, et je vous retrouve pour une prochaine méthode. Bye bye!

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