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Nombres et calculs

Nombres et Calcul Numérique

L'exercice consiste à écrire √263250 sous la forme a√b. Pour ce faire, il faut d'abord décomposer 236250 en facteurs premiers, en partant des plus petits jusqu'à obtenir 1. On compte ensuite le nombre de fois que chaque nombre premier apparaît, ce qui donne 2^1 x 5^4 x 3^3 x 7^1. Les propriétés des racines carrées et des puissances sont ensuite rappelées, notamment la propriété disant que la racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées de chaque facteur. En utilisant cette propriété et en faisant apparaître les carrés, on obtient √263250 = 75√42.

Alors dans cet exercice, on veut écrire sous la forme a√b le nombre √263250. Donc le premier réflexe à avoir quand on veut faire ça, c'est de faire la décomposition en facteur premier du nombre qui est sous la racine. Donc là, c'est ce qu'on va faire, on va diviser 236250 par des nombres premiers, alors on va aller de plus petit au plus grand, jusqu'à ce qu'on obtienne 1. Donc c'est parti, 236250, c'est divisible par 2 parce que ça se termine par un 0, donc c'est 2 x 118125. Alors là, petite alerte, ça se termine par un 5, donc on sait que c'est divisible par 5. Donc c'est 5 x 23625, pareil, ça se termine par un 5, donc on continue, ça fait 5 x 4725, encore une fois ça se termine par un 5, donc 5 x 945, toujours pareil, ça fait 5 x 189, là c'est plus divisible par 5. Donc celui qu'on avait oublié, on s'est précipité sur le 5 parce que c'était assez facile, mais celui qu'on oubliait, c'était 3, on a oublié de voir que c'était divisible par 3, donc on revient sur 3, donc 189, est-ce que c'est divisible par 3? Donc on rappelle, pour savoir si c'est divisible par 3, on fait la somme des chiffres qui composent notre nombre, si cette somme est divisible par 3, le nombre de base est divisible par 3. Donc là, on a 1 plus 8, ça fait 9, plus 9, ça fait 18, 3 x 6, 18, donc divisible par 3, et donc 189 est divisible par 3. Donc on écrit que c'est 3 x 63, alors 63, soit on connaît l'étape de multiplication, soit on refait le test, 63, 6 plus 3, ça fait 9, donc divisible par 3, donc on écrit que c'est 3 x 21. Alors 21, pareil, c'est 3 x 7, là celui-là on devrait le connaître, et 7, 7 c'est un nombre premier, donc on l'écrit comme 7 x 1, et on est retombé sur 1, donc on a terminé. Deuxième étape, c'est de compter chaque nombre premier qui apparaît, donc là il y a 2, il y a 5, il y a 3, il y a 7, on va compter combien de fois il apparaît, donc 2, il apparaît une fois, 5, il apparaît 4 fois, 3, il apparaît 3 fois, et 7, il apparaît une fois. Donc maintenant qu'on a ça, on va écrire 236 250 sous forme de sa décomposition au facteur premier, ce qui nous fait 2 x 5 puissance 4 x 3 puissance 3 x 7. Avant de continuer, on a besoin de faire des rappels de cours, donc rappels sur toutes les propriétés des racines carrées. Là on a deux propriétés qui sont très importantes, c'est que la racine carrée d'un produit, c'est égale au produit des racines carrées. Alors attention, cette propriété est vraie que si A et B sont positifs ou nuls, parce que sinon on se retrouverait avec des nombres négatifs, par exemple si on a racine carrée de moins 1 x moins 1, donc ça, ça fait racine carrée de 1, parce qu'à l'intérieur ça fait moins 1, mais ça nous ferait racine carrée de moins 1 x racine carrée de moins 1, et ça, c'est pas possible, parce que la racine carrée, on la prend que pour les nombres positifs. Donc on a cette propriété-là qu'on va utiliser, et on a cette propriété-là en fait qui est racine carrée de A au carré, alors ça va dépendre de A, si A est positif, racine carrée de A au carré, ça fait rien, par contre si A est négatif, ça change le signe. Donc par exemple, à l'oral vite fait, racine carrée de moins 3 au carré, ça nous fait 3, d'accord? En fait, racine carrée de A au carré, en réalité c'est la valeur absolue, mais on va pas s'attarder là-dessus, on va juste utiliser la première, parce qu'en fait nous on va ne manipuler que des nombres positifs, donc en fait il y a juste la première ligne qui nous intéresse. Alors attention, je vous mets en garde un truc qu'il ne faut surtout pas écrire, c'est racine carrée de A plus B égale racine carrée de A plus racine carrée de B. Ça c'est absolument faux, d'ailleurs, moi je l'ai écrit, c'est différent, mais c'est quasiment jamais le cas. Cette propriété qui marche bien, c'est valable qu'avec le produit, bon ça marche aussi avec la division, mais là on va pas s'attarder dessus parce qu'on va pas l'utiliser. Donc attention, attention à ne jamais écrire cette propriété-là. OK, donc une autre propriété dont on va avoir besoin, c'est une propriété des puissances, qui est que A puissance M plus N, c'est A puissance M fois A puissance N. Donc en fait la propriété nous dit que quand dans les puissances on a une somme, on peut séparer ça en produit et à chaque fois on met ce qu'il y avait dans la somme. Donc ça, ça va nous être très utile, parce qu'en fait la technique va être de faire apparaître des carrés, pour qu'en fait quand on est ça, on fasse sauter la racine carré, pour qu'à la fin on ait la forme qu'on souhaite. Donc on va écrire cette décomposition en facteur premier, en faisant apparaître les carrés. Donc là en fait, on voit que 5 puissance 4, c'est 5 au carré fois 5 au carré, parce qu'en fait si on utilise cette propriété, 5 au carré fois 5 au carré, ça fait 5 puissance 2 plus 2, et donc 5 puissance 4, donc en fait là on l'a fait dans l'autre sens, et donc pareil, 3 puissance 3, c'est 3 au carré fois 3, parce que 3 c'est 3 puissance 1, donc 3 au carré fois 3, ça nous fait 3 puissance 3. Et ensuite, bon bah 2 et 7, ils sont un peu tout seuls, là on va pas faire grand chose avec ça. Donc, histoire d'y voir plus clair, on va regrouper les facteurs qui sont mis au carré, on va les regrouper un peu devant, et on va remettre la racine carré. Donc là, voilà, on voit que la racine carré du nombre qui nous intéresse, c'est la racine carré du coup de tout ça. Et donc là, on va utiliser cette propriété-là pour séparer chacun des termes et voir ce que ça donne. Donc après séparation, on voit qu'on a racine carré du coup de 5 au carré, fois racine carré de 5 au carré, fois racine carré de 3 au carré, alors c'est fait pour, que ça marche bien, et fois racine carré de 2 fois 3 fois 7. Donc ceux-là, on les a laissés ensemble parce qu'on n'allait pas en faire grand chose. Donc maintenant, on va simplifier en utilisant cette propriété-là, et on est dans le cas où A est positif, parce que ce qu'il y a sous la racine, c'est 5, 5, 3. Donc ça nous donne 5 fois 5 fois 3, fois racine carré de 2 fois 3 fois 7. Donc là, on fait la calcul, on simplifie, et ça nous fait 75 racine carré de 42. Donc voilà pour l'écriture de racine carré de 236 250 sous la forme A racine carré de B.

Simplifier une racine

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