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Nombres et calculs

Nombres et Calcul Numérique

Dans cet exercice, on montre la transitivité de la divisibilité. Si un nombre divise un autre, mais est divisible par un autre nombre, que se passe-t-il pour les nombres des extrémités? On utilise le rappel selon lequel quand on a deux entiers A et B, A divise B s'il existe un K tel que B soit égal à K fois A. En utilisant cela, on traduit les informations données sous forme algébrique. On remplace D dans l'expression N = K x D par l'expression D = K' x D'. En substituant D par K' x D', on trouve que N est équal à K x K' x D'. On introduit un nouveau nombre positif ou négatif L, égal à K x K', montrant clairement que N est égal à L fois D', ce qui signifie, par la définition de la divisibilité, que D' divise N.

Dans cet exercice, on va montrer la transitivité de la divisibilité. Ça veut dire que si un nombre divise un autre, mais qu'il est divisible par un autre nombre, qu'en est-il des nombres des extrémités? On va voir ça. Dans cet énoncé, on nous donne deux informations. La première, on nous dit que D est un diviseur de N, et ensuite on nous dit que D' est un diviseur de D. On va essayer de traduire ça sous forme mathématique, mais pour ça, on a besoin d'un rappel de ce que ça veut dire qu'un nombre est diviseur d'un autre. On utilise le rappel suivant, qui nous dit que quand on a deux entiers A et B, dire que A divise B, ça équivaut à dire qu'il existe un K tel que B égale K fois A. On va utiliser ce rappel pour traduire l'information numéro 1 et numéro 2 qu'on nous donne sous forme algébrique. La première, on nous dit que D est un diviseur de N, donc il existe un K tel que N est égal à K fois D. La deuxième, D' est un diviseur de D. Il existe un K tel que D égale K fois D'. Alors attention, j'ai mis un prime ici parce que ce n'est pas le même cas. A priori, rien ne nous dit que c'est le même cas, qui fait que on a N égale K fois D, et qu'on aurait D égale K fois D'. Ce n'est pas le même cas. On met un petit prime, on aurait pu changer de lettre, ce qui compte c'est que ce ne soit pas le même. La suite de la méthode, ça va être de remplacer D dans cette écriture par l'expression qui est juste en dessous. Donc ça veut dire K' fois D'. Donc on écrit et on voit ce que ça donne. Donc N, c'est K fois D, d'accord? Ça c'est l'information 1 qui nous le dit. Et donc en remplaçant D par K' fois D', c'est-à-dire l'information numéro 2, on trouve que N, c'est K fois K' fois D'. Donc là, on a quasiment fini, il reste juste à mettre un peu de forme pour faire apparaître la notion de divisibilité. Donc là, K fois K', on sait que ça appartient à Z, donc ça veut dire que c'est un nombre entier, positif ou négatif. Donc on va poser L, notre nouveau nombre, qui en fait vaut K fois K'. Et donc en faisant ça, on fait clairement apparaître que N, c'est égal à L fois D'. Et donc, par la définition de la divisibilité qu'on a eue dans le rappel, vu que N, c'est égal à L fois D', alors D' divise N.

Petite démo d'arithmétique

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