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Nombres et calculs

Nombres et Calcul Numérique

Dans cet exercice de décomposition en facteurs premiers, nous allons diviser successivement le nombre 182 952 par tous les nombres premiers. Nous commençons par les plus petits. Nous traçons une ligne pour séparer les nombres trouvés lors de la division et les diviseurs qui nous intéressent. Nous observons que 182 952 est un nombre pair, divisible par 2. Nous écrivons donc 2 x 91 476. Puis, nous divisons 91 476 par 2 pour obtenir 2 x 45 738. Enfin, nous divisons 45 738 par 2 pour obtenir 2 x 22 869. Le chiffre final de 22 869 ne nous permet pas de le diviser par 2, nous testons donc le prochain nombre premier, 3. Nous appliquons le critère de divisibilité par 3, et obtenons 3 x 7623. Nous testons à nouveau le nombre 7623, en appliquant à nouveau le critère de divisibilité par 3, pour obtenir 3 x 2541, puis 3 x 847. Nous testons ensuite si 847 est divisible par 7, en appliquant le critère de divisibilité par 7. Nous séparons le nombre en deux (84 et 7), puis additionnons le premier et le double du second (84 + 7 x 5 = 119). Nous répétons ce critère avec 11 et 9 (11 + 9 x 5 = 56), pour obtenir que 119 est divisible par 7, et donc que 847 est divisible par 7. Nous continuons ainsi la division jusqu'à obtenir que 182 952 est égal à 2 puissance 3 x 3 puissance 3 x 7 x 11 puissance 2, soit la décomposition en facteurs premiers de 182 952.

Dans cet exercice, on va voir ensemble la décomposition en facteurs premiers de 182 952. La méthode pour faire ça, c'est de le diviser successivement par tous les nombres premiers, en commençant par les plus petits. Une façon de rédiger ça, c'est de tracer une ligne comme ça, qui va séparer les nombres qu'on trouvera quand on divisera, et les diviseurs ici, qui seront exactement ce qui nous intéresse. On va commencer. 182 952, on voit que c'est un nombre pair, parce que ça termine par 2, donc c'est divisible par 2. Donc on écrit que c'est 2 x 91 476. Donc pareil, 91 476, on le divise par 2, parce que ça se termine par 6, c'est un nombre pair. Donc on a que c'est 2 x 45 738, et 45 738, c'est aussi un nombre pair, parce que ça se termine par 8, donc on peut le diviser par 2. Donc c'est 2 x 22 869. Donc maintenant, 22 869, ça se termine par un 9, et du coup c'est plus un nombre pair. Donc, on ne peut pas le diviser par 2. En fait, on va tester le nombre premier suivant, qui est 3, tout simplement. Et le critère de divisibilité par 3, c'est de faire la somme de tous les chiffres qui composent notre nombre, et si cette somme, elle, est divisible par 3, le nombre de départ sera divisible par 3. Donc là, on est parti. Donc 2 plus 2, ça fait 4, plus 8, ça fait 12, plus 6, ça fait 18, et plus 9, ça fait 27. 27, c'est 3 x 9, et donc 27 est divisible par 3, et du coup, 22 869 l'est aussi. Donc on écrit que c'est 3 x 7623. On va retester, est-ce que ce nombre-là est divisible par 3? Donc 7 plus 6, ça fait 13, plus 2, ça fait 15, plus 3, ça fait 18. 18, c'est 3 x 6, donc divisible par 3, et donc 7623 est divisible, lui aussi, par 3. Donc on écrit que c'est 3 x 2541. On reteste, est-ce que 2541 est lui aussi divisible par 3? Donc 2 plus 5, ça fait 7, plus 4, ça fait 11, plus 1, ça fait 12, 12, 3 x 4, donc divisible par 3, et du coup, 2541, lui aussi, est divisible par 3. Donc on écrit que c'est 3 x 847. On teste, 8 plus 4, ça fait 12, plus 7, ça fait 19. C'est plus divisible par 3. Donc vu que ce n'est pas divisible par 3, on va tester les nombres premiers suivants. Alors 4, ce n'est pas un nombre premier, de toute façon, si c'était divisible par 4, ce serait divisible par 2, là ce n'est pas le cas. 5, est-ce que c'est divisible par 5? Ça se termine par un 7, donc ce n'est pas divisible par 5, parce que, petit rappel, pour que ce soit divisible par 5, il faut que le chiffre des unités soit 0 ou 5. Là, on a 7, ce n'est pas le cas, donc ce n'est pas divisible par 5. Ensuite 6, ce n'est pas un nombre premier, de toute façon, si c'était divisible par 6, ce serait divisible par 2 et par 3, bon là, ce n'est pas le cas du tout. Donc on va voir, est-ce que 847 est divisible par 7? Donc, le critère de divisibilité par 7, c'est de séparer notre nombre en deux, juste après le chiffre des unités. Là, on peut voir qu'on a 84 et 7. La méthode, c'est de prendre ce nombre-là, plus celui-là, fois 5. Donc là, ce qu'on va faire, on sépare 847 en 84 et 7, et ce qu'on fait, c'est 84 plus 7 fois 5. Et donc, ce nombre-là qu'on obtient, on va voir, est-ce qu'il est divisible par 7? Si c'est le cas, le nombre de départ est divisible par 7, si ce n'est pas le cas, il n'est pas divisible par 7. Donc on est parti, 84 plus 7 fois 5, ça nous fait 119. 119, ce n'est pas évident de savoir s'il est divisible par 7, donc on va recommencer tout simplement ce critère en séparant 11 et 9, et donc on va faire 11 plus 9 fois 5, et on va voir est-ce que ce résultat est divisible par 7. Donc 11 plus 9 fois 5, ça nous fait 56. 56, on reconnaît que c'est 8 fois 7, donc divisible par 7. Donc 119 est divisible par 7, et vu que 119 est divisible par 7, on remonte un peu la chaîne, ça nous fait 847 divisibles par 7. Donc on peut continuer notre divisibilité pour voir que 847 s'écrit 7 fois 11. Et donc ensuite, on termine rapidement, on reconnaît que 121, c'est 11 fois 11, 11 au carré, et donc 11 fois 1 à la fin. Donc maintenant, on a fait tout le boulot. Ce qui reste à faire, c'est un peu tout réécrire en organisant un peu l'écriture. Donc le premier truc à faire, c'est de compter combien de fois chaque diviseur apparaît. Donc là, on voit qu'on a 3, 2, d'accord? 2, il apparaît 3 fois. 3, pareil, il apparaît 3 fois. 7, il apparaît une seule fois. Et 11, il apparaît 2 fois. Donc là, les nombres premiers qui apparaîtront dans notre décomposition, ça va être 2, 3, 7, 11. Et à chaque fois, les puissances à laquelles ils seront, ce seront les nombres qu'on trouve ici. Donc on peut écrire que 182 952, c'est 2 puissance 3 fois 3 puissance 3 fois 7. Alors 7, on n'écrit pas puissance 1, parce que puissance 1, c'est comme fois 1, c'est comme plus 0. Bon, ça alourdit les notations, parce que ça ne change pas le résultat. Donc on écrit juste 7. Et 11, du coup, 11 puissance 2. Donc voilà la décomposition en facteur premier de 182 952.

Décomposer en facteurs premiers

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