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Géométrie

Droites et Systèmes d'équations

Dans cet exercice, nous apprenons à trouver l'équation cartésienne d'une droite connaissant un point et son vecteur directeur. L'équation cartésienne est de la forme ax + by + c = 0, et le vecteur directeur d'une droite peut être obtenu en prenant les coefficients devant x et y en ordre inverse et en les mettant dans un vecteur. Si nous avons un point sur la droite, nous pouvons utiliser ses coordonnées pour trouver la valeur de c en substituant dans l'équation cartésienne et résolvant pour c. En utilisant cette méthode, nous avons trouvé que l'équation cartésienne de la droite qui passe par le point (-2,5) et avec un vecteur directeur de (3,-7) est 7x + 3y -1 = 0.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer l'équation cartésienne d'une droite sachant qu'on sait qu'elle passe par un point et on connaît un vecteur directeur de cette droite. Alors, petit rappel, une équation cartésienne, déjà, c'est une équation de type ax plus by plus c est égale à 0, et ce qu'on sait, c'est qu'immédiatement, un vecteur directeur de D, quand on a cette équation cartésienne-là, c'est moins ba. Donc en gros, on prend le coefficient qui est devant le y, on met un moins devant, ça donne notre première coordonnée du vecteur directeur, et le coefficient qui est devant x, on le met en deuxième coordonnée de notre vecteur directeur et ça nous fait un vecteur directeur tout trouvé. Alors ça va dans les deux sens, ça veut dire que si on a l'équation cartésienne, on peut trouver très rapidement un vecteur directeur, et si on a un vecteur directeur comme ça, on peut construire l'équation cartésienne qui est associée à ce vecteur directeur. Et bien en fait c'est ce qu'on va faire, parce qu'on a un vecteur directeur, on nous le donne, c'est 3 et moins 7 ici, donc on va l'utiliser pour trouver l'équation cartésienne de la droite. Donc ça, ça va être la première étape. Ensuite, ce qu'on sait, c'est qu'on a un point qui appartient à la droite. Alors, deuxième rappel, et plutôt une méthode, si on sait qu'un point A, donc le coordonnée x, a, y, a, appartient à la droite D, on va s'en servir pour trouver la valeur du coefficient c. Parce qu'en fait, le vecteur directeur nous permet de trouver A et B, et ensuite, une fois qu'on a A et B, on remplace les coordonnées de A dans l'équation, donc ça veut dire qu'on va avoir cette égalité-là, et donc il ne restera que le coefficient c, donc le nombre c à trouver, et ce sera une résolution d'équation à une inconnue, donc c'est ce qu'on va faire. Alors c'est parti, on commence. Donc ici, l'équation de D, donc c'est ax plus by plus c est égal à 0, donc elle a pour vecteur directeur, on a dit, 3 et moins 7. Alors, donc ça, ça veut dire que notre B, ce sera moins 3, et notre A, ce sera moins 7. Alors là, en fait, ce qu'on va faire, donc on pourrait dire que B, c'est moins 3, et A, c'est moins 7, sauf que, ben, ça fait du moins et du moins, c'est pas vraiment ce qu'on va utiliser en réalité. Parce qu'en fait, là, ce qu'on va utiliser, c'est tout simplement qu'on va prendre le vecteur opposé, donc le vecteur moins 3, 7, et en fait, on va se servir de celui-ci comme vecteur directeur, parce que bien sûr, tous les vecteurs directeurs d'une droite sont collinéaires ensemble, et dans l'autre sens, si deux vecteurs sont collinéaires, et que l'un est d'un vecteur directeur d'une droite, l'autre l'est aussi. Donc là, en fait, on va utiliser le vecteur plutôt qui va être moins 3, 7, comme vecteur directeur, comme ça, en fait, notre A et notre B seront des nombres positifs, parce qu'on préfère travailler avec des nombres positifs. Donc ici, D a pour équation cartésienne, du coup, 7x plus 3y plus c est égal à 0, d'accord? Parce que ça, on a utilisé, du coup, comme je disais, le vecteur moins 3, 7, donc le 3 correspond à moins moins 3, et le 7 correspond à 7, du coup. Donc là, on a notre A, notre B, il reste à trouver C, et donc pour trouver C, on va utiliser cette méthode, donc ça veut dire, on sait que le point A de coordonnées moins de 5 appartient à la droite, donc en fait, on va remplacer x et y par les coordonnées de A, et ça va nous faire une équation, une inconnue, et l'inconnue sera C. Donc, ben c'est parti. On sait que A appartient à D, donc comme A appartient à D, on a 7xxA plus 3yA plus c est égal à 0, bon ben on remplace par les vraies coordonnées de A, qui sont moins 2 et 5, donc ensuite, on fait les calculs, donc ça nous fait moins 14 plus 15 plus c est égal à 0, donc ça nous fait 1 plus c est égal à 0, donc rapidement, C est égal à moins 1. Bon ben là, on a tout ce qu'il faut, il faut juste remettre un peu tout ça dans l'ordre, et D, donc pour l'équation cartésienne, 7x plus 3y moins 1 est égal à 0. Donc voilà comment trouver l'équation cartésienne d'une droite connaissant un vecteur directeur et un point par lequel elle passe.

Vecteur directeur

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