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Droites et Systèmes d'équations

Dans cet exercice, nous avons vu comment résoudre un système d'équation en utilisant la méthode par substitution. Cette méthode consiste à isoler une variable en fonction de l'autre pour se ramener à une équation et une inconnue. Contrairement à la méthode par combinaison, qui nécessite de gros calculs pour obtenir le même nombre de variables dans chaque ligne. Nous avons résolu le système 3x-2y=9 et 7x+11y=-3, en isolant y en fonction de x dans la première ligne, puis en le remplaçant dans la deuxième. Nous avons ensuite résolu une équation à une inconnue pour trouver x, puis nous avons utilisé l'expression trouvée pour y dans la première étape pour trouver y. Au final, la solution du système est le couple (93/47, -72/47).

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment résoudre un système d'équation en utilisant la méthode par substitution. Alors, pour rappel, ce qu'il faut savoir par cœur, c'est que pour résoudre un système, on a deux méthodes. On a la méthode par substitution, donc celle qu'on va voir dans cet exercice, et la méthode par combinaison qu'on a déjà vue dans un autre exercice. Alors la méthode par substitution, c'est exprimer une variable en fonction d'une autre pour se ramener à une équation et à une inconnue. Et la méthode par combinaison, c'est faire des combinaisons linéaires entre les lignes pour supprimer une variable et encore se ramener à une équation et à une inconnue. Donc allez, c'est parti! Donc notre système, c'est 3x-2y égale 9, et 7x plus 11y est égal à moins 3. Donc, si on veut partir par combinaison, il faudrait avoir le même nombre de x dans la première et la deuxième ligne. Donc là, on voit que 3 et 7, leur PPCM, ce sera 21. Bon, ça fait faire des gros calculs. Et pareil, entre 2 et 11, ça ne se passerait pas super bien. Il faudrait multiplier par 11 et par 2, etc. Bon, voilà. On va mettre la méthode par combinaison de côté. On va s'intéresser à la méthode par substitution. Alors, quand on fait la méthode par substitution, généralement, on essaye de voir dans les deux lignes, quelle variable a le coefficient le plus petit. Et ce sera cette variable qu'on va isoler, qu'on va exprimer en fonction de l'autre. Donc là, le plus petit, c'est lui, c'est le gagnant. Donc on va isoler ce y là pour l'exprimer en fonction de x. Donc ça, on le passe de l'autre côté, ça nous fait 2y, ici. Et le 9, on le passe à gauche pour nous faire moins 9. Donc on a 3x moins 9 égale 2y. Et la deuxième ligne n'a pas bougé. Donc là, on va isoler y. Bon, on repasse à gauche, mais ça ne change rien. On a juste inversé l'égalité. Donc ça nous fait y est égal à 3x moins 9 sur 2. Bon, ce n'est pas forcément quelque chose qui nous plaît, mais on va utiliser ça à défaut d'avoir mieux. Donc là, la deuxième ligne n'a toujours pas bougé. Mais maintenant, en fait, la deuxième ligne va bouger parce qu'on va fixer la première ligne, on n'y touchera plus. Ce sera y exprimé en fonction de x. Et on va se servir de cette première ligne dans la deuxième, justement, avec cette expression qu'on a pour y. Donc là, on remplace y par ça, d'accord? Ce y là, on l'a remplacé par ça. Ce qui nous fait la deuxième ligne, 7x plus 11 fois 3x moins 9 sur 2. Au lieu de mettre y, on met 3x moins 9 sur 2. Est égal à moins 3. Donc ça, c'est ce qui est resté. Et bien, en fait, maintenant, on va se concentrer juste sur cette ligne parce qu'en fait, ça, c'est une équation à une inconnue. Alors certes, elle n'est pas très jolie, mais on peut très bien la résoudre. Une équation à une inconnue, on sait faire. Donc c'est parti, on met un petit numéro 1 pour dire qu'on va se concentrer sur cette ligne-là. Donc on va résoudre, du coup, l'équation 7x plus 33 sur 2x, d'accord? 33 sur 2, c'est 11 fois 3,5 de x. Moins 99 sur 2, donc là, c'est 11 fois 9 fois moins 9 sur 2. Donc ce qui nous fait moins 99 sur 2. Est égal à moins 3. Donc là, ce qu'on va faire, c'est qu'on va se débarrasser du dénominateur plutôt que se trimballer et mettre tout sur le même dénominateur. On va multiplier chaque côté de mon égalité par 2, ce qui va nous donner 14x plus 33x est égal à moins 6 plus 99. Alors là, j'ai fait une pierre deux coups. C'est vrai que j'ai tout multiplié par 2, donc le moins 3 est devenu moins 6. Le 7x est devenu 14x. Alors, ces deux-là, Oups! Ces deux-là, ils ont juste perdu leur dénominateur parce que c'était sur 2, donc en multipliant par 2, ça saute. Et le moins 99, on l'a passé aussi de l'autre côté en même temps. Pour aller un peu plus vite, ça nous fait plus 99. Donc là, maintenant, on regroupe les x ensemble et le terme constant qui est de l'autre côté. Donc ça nous fait 47x est égal à 93. Et donc, x est égal à 93 sur 47. Donc maintenant qu'on a trouvé x, il ne nous reste plus qu'à trouver y. Donc pour ça, on revient sur l'écriture qu'on avait de notre système. Et maintenant qu'on connaît x, on va se servir de cette égalité, en fait, pour trouver y, tout simplement. Donc, on a que y est égal à 3x moins 9 sur 2. x est égal à 93 sur 47. Bon, ben là, ça fait un calcul pas très joli, mais c'est ce calcul-là qu'il faut faire. On a tout simplement remplacé x ici par 93 sur 47. Et donc, après simplification, on trouve que y est égal à moins 72 sur 47 et x est égal à 93 sur 47. Donc, petite phrase de conclusion, le système qu'on avait au départ a pour solution le couple 93 sur 47 et moins 72 sur 47.

Système d'équations : Substitution

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