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Géométrie

Repérage et Problèmes de Géométrie

Pour trouver la valeur d'un angle dans un triangle rectangle lorsque deux côtés sont connus, la trigonométrie est utilisée. En utilisant le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA, les formules trigonométriques sont rappelées pour déterminer la valeur de l'angle souhaité. Dans l'exemple donné avec un triangle rectangle en C, avec AB égal à 8 et AC égal à 4, l'angle ABC est l'angle qui nous intéresse et est appelé alpha. Le côté opposé, AC, est utilisé avec l'hypoténuse, AB, pour utiliser la formule du sinus. Le sinus alpha est donc égal à AC sur AB, soit 4 sur 8, après simplification 1,5. Pour trouver la valeur de alpha, on utilise la fonction réciproque du sinus, l'arcsinus, et on tape arcsinus de 1,5 sur la calculatrice pour trouver la valeur de 30° pour l'angle ABC.

Salut! Dans cet exo, on va voir comment trouver la valeur d'un angle dans un triangle rectangle quand on connaît deux côtés. Alors déjà, le premier réflexe à avoir, quand on vous demande de déterminer la valeur d'un angle et qu'on est dans un triangle rectangle, ça doit immédiatement faire tilt dans votre tête, on va utiliser la trigonométrie. Pour rappel, les formules de trigo, on va les réécrire. Dans un triangle rectangle, puisque la trigonométrie c'est que dans un triangle rectangle, quand on considère un angle α, on a le moyen mnémotechnique suivant qui est SOH CAH TOA. Alors ce que ça veut dire c'est que le sinus c'est l'opposé sur l'hypoténuse, l'opposé sur l'hypoténuse, cosinus c'est adjacent sur l'hypoténuse, et la tangente c'est l'opposé sur l'adjacent. Alors opposé, adjacent, hypoténuse, ce que ça veut dire c'est que, en fait opposé, c'est le côté opposé à l'angle α qui nous intéresse, et adjacent, c'est le côté qui est adjacent entre l'angle α et l'angle droit. Et l'hypoténuse, c'est l'hypoténuse du triangle rectangle. Donc si on fait un schéma du triangle qui nous intéresse, on nous dit que c'est un triangle rectangle en C, avec AB qui vaut 8 et AC qui vaut 4. Donc voilà, il ressemble à peu près à ça, même si ce n'est pas précis, ce n'est pas très grave. Et l'angle qui nous intéresse, c'est l'angle ABC. Donc on va l'appeler α, histoire de respecter un peu les notations du rappel. Et donc là, ce qu'on va vouloir utiliser en fait, c'est ces côtés-là, parce que si on a besoin d'utiliser le côté BC pour notre formule, on est un peu bloqué parce qu'on ne le connaît pas. Alors on pourrait faire le théorème de Pythagore, tout ça, mais ce serait beaucoup trop long, et là, il y a beaucoup plus rapide. Donc là en fait, on veut utiliser le côté AC et le côté AB, mais pour ça, il faut essayer de savoir à quoi ça correspond. Donc tout simplement, le côté AC, c'est le côté opposé à mon angle α, parce qu'il est en face. Le côté AB, c'est l'hypoténuse. Si jamais j'avais eu besoin d'utiliser le côté BC, ce serait le côté adjacent, parce que c'est le côté qui se situe entre l'angle qui m'intéresse et l'angle droit. Donc c'est le côté adjacent à α. Là, ce n'est pas le cas, on n'a pas besoin de l'utiliser, mais je le dis au cas où. Donc là, on a besoin d'utiliser le côté opposé, l'hypoténuse, et bien le sinus est tout désigné pour ça. Donc on applique la formule, on sait que le sinus de α, ça va être l'opposé sur l'hypoténuse, donc ça veut dire AC sur AB. On remplace par les valeurs qu'on nous donne, donc ça fait 4 sur 8, donc 1,5 après simplification. Et donc maintenant, on sait que le sinus de α fait 1,5. Alors ce n'est pas fini, parce que ce qui nous intéresse, nous, c'est α. On s'en fout un peu de savoir que son sinus fait 1,5. On veut savoir combien fait α. Et bien là, en fait, la méthode, quand on sait que sinus de α fait 1,5, on va tout simplement prendre arcsinus de chaque côté de l'égalité pour trouver la valeur de α, parce que arcsinus, c'est la fonction réciproque de sinus. Ce que ça veut dire, c'est que si je fais arcsinus de sinus de α, ça me fait α, et donc je vais avoir arcsinus de 1,5 à droite, ce qui nous fait que α, c'est arcsinus de 1,5. C'est comme ça qu'on trouve la valeur des angles quand on connaît le sinus. Pareil, si on avait le cosinus, on prendrait arccosinus, si on avait la tangente, on prendrait arctangente. Ça marche exactement pareil. Et donc là, pour le coup, il ne faut pas les connaître, il faut juste savoir le taper sur la calculatrice. Donc on tape arcsinus de 1,5 sur la calculatrice, en faisant attention que c'est bien en degré et non en radian. Et donc, une fois qu'on a bien fait ça, ça nous donne 30°, et donc l'angle ABC fait 30°.

Retour sur la trigonométrie

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