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Identités remarquables, calcul algébrique

Dans cet exercice, on utilise la méthode du changement de variable pour résoudre une équation. En remplaçant X par x², l'équation x4 + x² = 6 devient X² + X - 6 = 0. Ensuite, on utilise la formule du produit de facteurs nuls pour trouver les solutions possibles : X = 2 ou X = -3. En ramenant X à x, on obtient finalement les deux solutions réelles X = racine de 2 ou X = -racine de 2.

Salut! Dans cet exercice, on va résoudre une équation qui paraît assez compliquée, mais en fait on va utiliser la méthode du changement de variable. Pour rappel, cette méthode, c'est quand dans une équation, on rencontre que des puissances paire de x, mais en fait on est amené à poser X est égal à x², ce qui fait que ça permet de diviser par 2 chacune des puissances, et ça permet la plupart du temps de résoudre l'équation en X. Ça veut dire qu'à la fin, on va trouver des solutions X est égal à quelque chose. Une fois qu'on a trouvé ces solutions, on fait machine arrière en se rappelant que X était x², et du coup on trouve les solutions x qui nous intéressaient au début. Donc là on est parti, on pose X est égal à x², du coup l'équation de départ, ça veut dire x4 plus x² est égal à 6, en fait c'est X² plus X est égal à 6, d'accord? Parce que X puissance 4, on rappelle que c'est X² au carré, donc c'est X². Là on va passer le 6 de l'autre côté, donc ça nous fait X² plus X moins 6 égal à 0. On va utiliser ce qu'on nous dit dans l'énoncé, parce que comme par hasard, on retombe sur l'égalité qu'on nous donne dans l'énoncé, sauf que là c'est en Y, nous on a un X, donc on va réécrire ça avec X, ce qui nous fait X moins 2 fois X plus 3 égal à 0, et ça on sait résoudre, c'est un produit de facteur nul, donc ce produit est nul, si et seulement si, au moins un des facteurs est nul, donc ça veut dire soit X égale 2, donc soit celui-là égale à 0, donc X égale 2, soit celui-là égale à 0, donc X égale moins 3. Maintenant qu'on a trouvé nos deux potentielles solutions pour X, on va se ramener à x, parce que c'est x qui nous intéresse. Donc on voit ce qui se passe si X est égal à 2. Donc X est égal à 2, ça veut dire que X carré est égal à 2, donc X égale racine carrée de 2, ou X égale moins racine de 2. On ne l'oublie pas celui-là, souvent on a tendance à oublier le moins racine de 2, mais on se rappelle que quand on a X carré égale K avec un nombre positif K, X est égal à racine de K, ou moins racine de K, il ne faut pas l'oublier le moins. Donc là voilà, on a deux solutions, et maintenant on regarde ce qui se passe quand X est égal à moins 3. Donc ça veut dire que x au carré est égal à moins 3, mais ça ce n'est pas possible, il n'y a pas de solution, parce que x au carré, enfin même n'importe quoi au carré, c'est toujours positif, donc x au carré égale moins 3, il n'y a pas de solution. Donc du coup, les deux seules solutions de l'équation de départ sont X égale racine de 2 et X égale moins racine de 2.

Factoriser pour résoudre

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