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Maths

Nombres et calculs

Identités remarquables, calcul algébrique

Dans cet exercice de mathématiques, on cherche à factoriser une expression compliquée en utilisant des identités remarquables. Après avoir examiné les termes et les signes, on identifie que l'expression x² + 6x + 9 peut être factorisée en (x + 3)². Ensuite, on utilise cette identité remarquable pour factoriser l'expression de départ en (x + 3) (x + 3 - 2x + 3). En regroupant les termes, on obtient finalement l'expression factorisée en x + 3 ( -x + 6).

Salut! Dans cet exercice, on veut factoriser une expression qui, on ne va pas se rentir, est assez compliquée à factoriser, vu comme ça. Donc, premier réflexe, on essaye de voir est-ce qu'on a des facteurs communs dans tous nos termes. Donc là, on a un terme, deux termes, trois, quatre termes, mais en fait, il n'y a rien en commun, parce que là, lui, c'est x², c'est x fois x, il n'y a que x comme facteur, lui, c'est 3 fois 3, donc déjà, rien que ces deux-là, ça ne se passe plutôt pas bien. Donc, on va partir sur autre chose. Il faut voir avec les identitaires marquables. Donc là, ça ne ressemble pas du tout à une identitaire marquable, cette partie-là, mais ça, pourquoi pas, on va essayer de voir ce qu'on peut en faire avec une identitaire marquable, parce que, peut-être que ça va bien se passer. Donc, pour rappel, les identitaires marquables, on les rappelle ici, on veut factoriser x² plus 6x plus 9. Donc, premier truc à faire, c'est de compter le nombre de termes. On en a un, deux, trois. On a trois termes, donc, soit on va utiliser la numéro 1, soit la numéro 2. Ensuite, on regarde, on n'a que des plus. Donc, signe plus, c'est forcément la numéro 1. Donc, ça veut dire que x² plus 6x plus 9 va s'écrire comme a² plus 2ab plus b². Et on identifie a² comme étant x², donc a est égal à x. Et de même, on identifie b² comme étant égal à 9, donc b est égal à 3. Alors, attention, rappel, ce n'est pas fini, puisque ça pourrait être un petit piège éventuellement. On vérifie que 2ab, avec a et b qu'on a trouvés, on vérifie que 2ab est bien égal à 6x. Donc, ici, 2ab, c'est 2 fois x fois 3, ça fait bien 6x, donc c'est bon, on peut factoriser tranquillement. x² plus 6x plus 9 par x plus 3². Donc, finalement, l'expression de départ serait écrite comme x plus 3² moins 2x moins 3 fois x plus 3. Et là, on recommence la petite identification des facteurs. Donc, cette fois-ci, on n'a plus que deux termes, et dans chacun des termes, on identifie x plus 3 ici et là. Donc, on va pouvoir factoriser par x plus 3. On rappelle, si on veut factoriser par x plus 3, ce qu'on fait, c'est qu'on le met devant notre parenthèse, on ouvre une grande parenthèse, du coup. Le signe moins, on va le remettre à l'intérieur de notre parenthèse, parce qu'on doit avoir autant de termes dans notre parenthèse qu'on avait en haut avant de factoriser, donc ça veut dire 1, 2, on en aura 1, 2. Donc, on a mis x plus 3 devant, et du coup, on va réécrire dans chacun des termes ce qu'il reste quand on enlève x plus 3. Dans le premier, x plus 3², c'est x plus 3 fois x plus 3. Quand j'en enlève 1, il me reste du coup x plus 3. Et dans le deuxième, quand j'ai enlevé x plus 3, il reste 2x moins 3. Donc, je réécris 2x moins 3. Le but d'après, c'est d'enlever les parenthèses. On rappelle, pour enlever les parenthèses, il faut regarder ce qu'il y a devant. S'il y a un signe moins, on va changer le signe de tout ce qui est dans la parenthèse. S'il y a un nombre devant la parenthèse, on va distribuer ce nombre dans la parenthèse. Donc, devant x plus 3, il n'y a rien, donc on va pouvoir enlever les parenthèses. Par contre, devant 2x moins 3, il y a un signe moins, donc on va distribuer le moins dans la parenthèse. En gros, on va changer le signe de tout ce qui est dans la parenthèse. Ce qui nous fait x plus 3 facteur de x plus 3 moins 2x plus 3. En regroupant un peu tout cela, cela nous fait x plus 3 facteur de moins x plus 6. On a facteurisé l'expression de départ en x plus 3 fois moins x plus 6.

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