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Maths

Nombres et calculs

Identités remarquables, calcul algébrique

Dans cet exercice de maths, la méthode pour factoriser une expression utilisée consiste à réécrire l'expression pour trouver tous les facteurs qu'elle contient. Ensuite, on repère les termes en commun dans les deux côtés de l'expression. On met ces termes communs en parenthèses et on distribue le reste des termes en soustrayant les facteurs communs. Enfin, on simplifie et on regroupe pour obtenir la forme factorisée. En appliquant cette méthode, l'expression 23x² + 46x + 21 peut être factorisée en (23x + 1)(6x + 2).

Dans cet exercice, on va factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun. Le premier truc à faire, parce qu'on voit qu'on a un carré, c'est de réécrire ça pour faire apparaître un peu tous les facteurs qu'on pourrait avoir dans nos termes. Donc là, le carré, on va juste l'écrire comme 23x plus 1 fois 23x plus 1, c'est ça, un carré, c'est un nombre multiplié par lui-même. Et là, la méthode d'après, c'est d'identifier quels sont les gros termes dans lesquels on va devoir trouver des facteurs communs. Pour ça, on observe tous les plus, là il n'y en a qu'un, et on va regarder les blocs qui sont autour du plus. Alors, s'il y avait un autre que ce soit un moins ici, on aurait eu un troisième bloc, ou même si c'était un plus, on aurait eu autant de blocs. Maintenant, dans ces termes-là, on va regarder quels sont les facteurs. Les facteurs, c'est ce qu'il y a entre les multiplications. Donc là, à proprement parler, on ne voit pas de multiplication, mais en réalité, il y a une multiplication ici et une autre ici. Donc on observe dans chacun des termes, on observe deux principaux facteurs dans chacun des termes. Donc, celui-là, celui-là, celui-là et celui-là. Maintenant qu'on a observé ça, on va chercher quels sont, parmi tous ces facteurs, quels sont ceux qui sont en commun dans le premier et le deuxième terme. Alors, on remarque tout de suite qu'on a 23x plus 1 dans le premier terme, et dans le deuxième, en fait, il y est même deux fois. En réalité, il était au carré, donc c'est un peu normal qu'il y soit deux fois. Donc là, la méthode à faire, c'est maintenant qu'on a repéré quel est le facteur qui est en commun dans chacun de nos termes, ce qu'on fait, c'est on va le mettre devant, on ouvre une grande parenthèse. Ensuite, tous les plus et les moins qu'on avait entre nos gros termes, donc là, il n'y en a qu'un, mais si on avait un autre ici, on ferait la même méthode. Donc on va les descendre et mettre au milieu de notre parenthèse, donc au milieu, parce que là, il n'y en a qu'un, mais si on avait un autre ici, on mettrait le moins, etc. Et chose très importante, on doit avoir dans notre parenthèse autant de termes qu'on avait au début. Donc là, on a un, deux termes au début, donc ici, on aura un, deux termes dans la parenthèse. Alors maintenant, pour savoir ce qu'on met dans nos termes de la parenthèse, en fait, on va mettre tout ce qui reste quand on a enlevé 23x plus 1 de nos termes respectifs. Donc là, si on enlève ça, il reste moins 17x plus 1, donc on écrit, et dans l'autre, si on enlève 23x plus 1, en fait, il y en a encore, parce qu'il y en a deux, donc on remet 23x plus 1. Donc maintenant, l'étape d'après, c'est d'enlever les parenthèses qui sont ici. Alors, pour rappel, pour enlever une parenthèse, ce qu'il faut regarder, c'est ce qui est devant la parenthèse. S'il y a un signe moins, on enlève les parenthèses, mais on change le signe. S'il y a un nombre devant une parenthèse, on va distribuer le nombre dans la parenthèse. Bon, là, devant cette parenthèse, il n'y a rien, et là, il y a un plus, donc en fait, on peut les enlever comme ça, sans faire aucun changement. Donc, ça nous fait 23x plus 1 fois moins 17x plus 1 plus 23x plus 1. Bon, là, on a juste à regrouper tout ça et simplifier. Donc, on regroupe les x et les nombres sans x, on simplifie tout ça, ce qui nous fait 23x plus 1 facteur de 6x plus 2. Voilà, on a simplifié. Donc, l'expression de départ se factorise en 23x plus 1 fois 6x plus 2.

Reconnaître un facteur commun

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