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Calcul Algébrique

En calcul algébrique, on doit évaluer des expressions sous forme de somme et de produit. Pour une somme, on utilise le symbole SOM (sigma majuscule) qui peut être lu comme la somme pour k allant de 0 à n de x. Il faut ensuite remplacer k par une valeur de 0 à n à chaque terme et les ajouter. On peut également utiliser des propriétés comme la somme des 1 qui vaut (n+1) et sortir un facteur prénuméraire. Pour un produit, on utilise le symbole PI (pi majuscule) qui fonctionne de la même manière que la somme. Il est donc possible de sortir un facteur prénuméraire. En résumé, il ne faut pas se formaliser avec les symboles, mais plutôt se concentrer sur ce qu'ils représentent. Les réponses pour les QCM de l'exercice sont : B pour la somme, 1 pour la somme de moins 1 puissance p et B pour le produit.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio, et dans cette vidéo on va faire nos premiers pas en calcul algébrique. Alors l'exercice est sous forme de QCM, pour chaque question, une seule réponse est juste, laquelle? Alors pour la première, la somme, il faut commencer à appréhender ce symbole, ici si on ne l'a pas vu en terminale, c'est le symbole SOM, qui est un sigma majuscule. Alors comment est-ce que ça se lit? La somme pour k allant de 0 à n, voilà c'est comme ça que ça se lit, de 2. Alors oui c'est un peu perturbant, qu'est-ce que ça veut dire? La première réflexe ça veut dire que sa première réponse est possible, a ça n'a pas de sens. Ou alors ça vaut 2 fois n plus 1, ou 2n. Bien il faut commencer à appréhender ce genre d'écriture. Alors justement on peut se demander, on nous parle de k, mais ici dans l'expression qu'on nous demande de regarder, il n'y a pas de k. Alors qu'est-ce que ça veut dire? Et puis allant de 0 à n, très bien, bon, où est-ce qu'il intervient, ici ce paramètre? Et bien en fait c'est juste, comment est-ce qu'il faut comprendre? Il faut sommer le terme qui est devant le symbole sigma, en remplaçant à chaque fois k, par une valeur, qui est introduite ici, donc pour k allant de 0 à n. Donc on regarde la première expression, donc c'est la somme, on commence par 2, ou on remplace k par 0. Bon ici k n'intervient pas, donc c'est simplement 2. Puis on continue la somme, on remplace k, maintenant k vaut 1, donc on remplace k par 1, bon k n'intervient pas, du coup c'est seulement 2. Donc au final, qu'est-ce que ça veut dire? La somme pour k allant de 0 à n de 2, et bien c'est 2 plus 2 plus 2 plus 2, avec comme indice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jusqu'à n. Voilà ce que ça veut dire. Alors est-ce qu'on peut l'évaluer ça? Et bien en fait, on peut travailler avec les outils qu'on a, on sait qu'on peut sortir ce facteur prénuméraire, la somme pour k allant de 0 à n de 2, c'est 2 fois la somme pour k allant de 0 à n de 1. Alors ça c'est une somme classique qu'il faut connaître absolument. La somme des 1, qu'est-ce que ça vaut? Ça vaut la bande supérieure moins la bande inférieure plus 1. Voilà, c'est du dénombrement. Donc au final, qu'est-ce qu'on a? Ça nous donne 2 fois n moins 0 plus 1, et finalement, la somme pour k allant de 0 à n de 2, c'est 2 fois n plus 1, et la bonne réponse était la b. On passe à la deuxième question. La somme, alors là, on change d'indice, et la somme pour k allant de 0 à 2n plus 1 de moins 1 puissance p est égale à quoi? À 1, moins 1 ou 0? Et bien on peut travailler de la même manière, et puis essayer de voir ce que c'est réellement, délier toute la somme. Alors qu'est-ce que ça vaut? Et bien la somme pour p égale 0 à 2n plus 1 de moins 1 puissance p, c'est le facteur ici, en évaluant p, en le faisant aller de 0 à 2n plus 1. Donc on commence par 0, donc moins 1 à la puissance 0, plus moins 1 à la puissance 1, plus moins 1, jusqu'à moins 1 à la puissance 2n plus 1. Voilà, on a clairement établi ce que c'était. Donc si on évalue à chaque fois, ça va nous faire 1, à la puissance 0, plus, une puissance 1 c'est moins 1, donc 1, et après c'est encore une puissance paire, donc c'est 1, puis moins 1, etc. Donc on va sans cesse alterner entre 1, moins 1, 1, moins 1, donc au final on peut directement déduire que ce n'est pas la réponse b. En effet, ce n'est pas moins 1. Ce n'est pas possible comme on l'a établi, c'est 1, moins 1, donc ça dépend du terme auquel on va s'arrêter. Sans, on va s'arrêter sur un plus 1, et du coup ça vaudra 1. Sans, on va s'arrêter sur un moins 1, et du coup on sera revenu à 0. Donc la somme finale vaut soit 1, soit 0. Maintenant, tout dépend du dernier terme sur lequel on s'arrête, et là il y a deux approches possibles pour déterminer ce que la somme vaut. La première approche, c'est cette intuition qu'on avait un peu, le fait que si on termine par un 1, ça va faire plus 1. Or, terminer par un 1, ça correspond à avoir une puissance paire, ici, pour 2 ou pour 4. Donc si le dernier terme à être évalué, c'est une puissance paire de p, et bien la somme vaut 1. Si le dernier, par contre, c'est une puissance impaire, comme ici, on avait ici une puissance 1, on l'aurait pu avoir avec une puissance 3, et bien ça aurait donné un moins 1, donc ça aurait annulé le terme d'avant, et la somme vaudrait 0. Et bien, maintenant on a juste à regarder le dernier terme, ça a une puissance impaire, et oui, 2n plus 1, peu importe m, 2n est paire, et donc plus 1, 2n plus 1 est impaire. Donc finalement, on en déduit que la somme pour p égal 0 de 2n plus 1 de moins 1 puissance p est égale à 0. C'est la réponse 1. On aurait pu avoir une deuxième approche en repérant une somme particulière. Ici, cette somme, on se rend compte que c'est un nombre, donc ici moins 1, élevé à une puissance, et on les somme. En fait, ça correspond exactement à une somme géométrique. Il faut savoir reconnaître les sommes classiques. Donc en deuxième approche, on peut retrouver une somme géométrique de raison q qui est égale à moins 1. Alors là, on a une formule directe pour la somme qu'il faut connaître. Donc la somme des termes d'une suite géométrique, c'est le premier terme, facteur de 1 moins la raison à la puissance, le nombre de termes qu'on considère, sur 1 moins la raison. C'est la formule qu'il faut retenir, qu'on démontre d'ailleurs en terminale. Alors, qu'est-ce que ça nous donne dans ce cas-là? Bon, la raison ici, c'est clairement moins 1. Donc si on applique la formule qu'il nous est donnée ici, le premier terme, c'est moins 1 à la puissance 0, donc c'est 1. Donc une fois, on commence la fraction. 1 moins la raison, moins 1, à la puissance... Alors le nombre de termes, c'est un peu comme la manière dont on a compté ici. Pour savoir combien il y a de termes, c'est la borde sup, moins la borde inf, plus 1. Donc ici, 2n plus 1, moins 0, plus 1, ça nous donne bien 2n plus 2. Divisé par 1 moins la raison, c'est 1 moins moins 1. Donc au dénominateur, on aura bien 2. Ici, 1 moins... Alors 2n plus 2, c'est une puissance paire, d'après la propriété des puissances. Moins 1 à une puissance paire, c'est 1, ça nous donne donc 1 moins 1. Et donc au final, on retrouve bien que la somme vaut 0. Ça rassure d'avoir le même résultat pour les deux méthodes. Voilà, c'est la réponse 1. Et dernière expression à évaluer, c'est un produit. Alors là, c'est un pi majuscule pour les produits, mais ça se lit de la même manière. C'est-à-dire qu'on lit ça comme le produit pour i allant de 1 à n, de l'expression 5Ai. Donc Ai, c'est sans doute une suite de termes réels ou complexes. Alors, est-ce qu'elle est égale à 5 fois le produit dAi, ou 5 puissance n fois le produit dAi, ou 5 puissance n moins 1 fois le produit dAi? Eh bien, pour celle-là, on se sert... Déjà, on peut développer de la même manière pour essayer de comprendre mieux ce que c'est. Donc à chaque fois, là c'est un produit, donc on aura des fois et non pas des sommes, mais ça fonctionne de la même manière. On évalue le terme en question pour chaque i, en remplaçant i par la valeur que l'on regarde à ce moment. Donc le premier, i commence à 1, donc c'est 5A1, fois, vu que c'est un produit, le suivant c'est pour i équivaut 2, donc 5A2, etc., jusqu'à 5An. Donc là déjà, on peut avoir une idée du résultat. Mais il faut le démontrer avec les propriétés du produit. Donc, on peut sortir, ici, de la même manière pour la somme, on peut sortir le facteur, vu qu'il ne dépend pas de i, c'est très important de dire ça, il ne dépend pas de i, donc on peut l'extraire du produit. Mais ici, on va l'extraire un certain nombre de fois, vu qu'il intervient à chaque terme. Et donc, on l'extrait autant qu'il y a de termes. Donc, combien il y a de termes? On fait la même technique. On fait n-1 plus 1, donc à la puissance n. On se retrouve finalement avec le produit qui vaut 5 à la puissance n, fois le produit pour i égale 1 à n, d à i. Et voilà, c'est bien la réponse B. Donc c'était nos premiers pas en calcul algebraique, on a vu à la fois la somme et le produit. Il ne faut pas se formaliser avec cette nouvelle, petite nouvelle, pardon l'exclaimant, ces nouveaux modes d'écrire les choses, on retrouve des grandes lettres grecques, ce n'est pas un problème. On se concentre sur ce que ça veut dire, au final on se retrouve avec une somme. Quand on explique ça très souvent à nos amis, ils ne comprennent pas, c'est quoi ce grand symbole? Bon, c'est une somme. Ça fait retomber un peu le truc, mais il faut l'utiliser à notre avantage. C'est quelque chose qui peut se retrouver de manière un peu intuitive, et c'est ce qu'on a fait. Maintenant, on va mettre en place des choses un peu plus intéressantes à montrer, et ça se passe dans les prochaines vidéos. À bientôt!

Somme et produits

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