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Dans cette vidéo, Matisse de Studio démontre comment sommer les premières puissances des entiers en utilisant la méthodologie de la récurrence. En notant a_n, b_n et c_n comme les sommes partielles pour k égal à 1 à n, k au carré et k au cube respectivement, il démontre que a_n est égal à n(n+1) sur 2, b_n est égal à n(n+1)(2n+1) sur 6 et c_n est égal à a_n au carré. Il utilise la méthodologie de la récurrence pour démontrer ces relations, en posant une propriété pour chaque cas (Pn pour a_n, Bn pour b_n et Cn pour c_n), en montrant l'initialisation pour n=1, l'hérédité en supposant que la propriété est vraie pour un rang quelconque, puis en synthétisant tout pour obtenir l'expression au rang suivant. En fin de compte, la somme pour k égal à 1 à n des k, k au carré et k au cube correspond respectivement à n(n+1) sur 2, n(n+1)(2n+1) sur 6 et n^2(n+1)^2 sur 4.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va sommer les premières puissances des entiers. Alors pour n, un entier naturel, on note toute une sorte de somme partielle. a n c'est la somme partielle pour k égale 1 à n des k, b n des k carrés et c n des k au cube. Alors on demande de démontrer que a n vaut la formule bien connue n n plus 1 sur 2, b n n n plus 1, 2 n plus 1 sur 6 et c n c'est en fait a n au carré. Très bien alors c'est parti. Comment est-ce qu'on fait pour démontrer ces relations? Et bien on peut avoir toutes sortes d'idées, d'ailleurs on a démontré de manière assez particulière avec les sommes télescopiques dans un exercice précédent, mais si on nous demande vraiment de vérifier une formule qui dépend d'un entier naturel, et bien là il n'y a pas de question à se poser, il faut en général se sauter sur la récurrence et c'est ce qu'on va faire. Donc appliquons une récurrence pour démontrer. Alors là, la récurrence vous le savez peut-être vu au lycée, mais là c'est le temps de prendre vraiment une méthodologie très précise et d'appliquer ça à chaque fois. Donc il faut retenir la syntaxe qu'il faut poser, ça c'est celle que je prends, après retenez celle que vous voulez, mais en tout cas il faut que ce soit toujours la même, toujours appliquée et en général qu'elle synthétise le maximum d'informations tout en étant juste. Alors ce que je pose moi c'est, démontrons par récurrence que pour toute n appartenant à n étoiles, la propriété Pn est vraie, lorsqu'on met Pn ça veut dire Pn est vraie, donc la propriété Pn c'est a n est égale à n n plus 1 sur 2, c'est ce qu'on souhaite démontrer. Alors c'est parti, on passe à l'initialisation, alors pour n c'est égal à 1, mais la somme pour k allant de 1 à 1 des k c'est 1 et on vérifie que 1 facteur de 1 plus 1 sur 2 c'est bien 1. Donc P1, la propriété considérée au rang 1, elle est vérifiée. On passe à l'hérédité, alors quelle est la phrase à dire pour l'hérédité? Là ça y est, on se fixe un n quelconque, mais par contre on le fixe bien, donc soit n appartenant à n étoiles, c'est très important de le poser. Maintenant on suppose que la propriété est vraie pour un rang quelconque, donc supposons que a n est égal à n n plus 1 sur 2. Et qu'est ce qu'on souhaite à montrer? On souhaite montrer que si elle est la propriété vraie pour n quelconque, et bien elle est vraie pour le rang suivant. Du coup que a n plus 1 est égal à n plus 1 n plus 2 divisé par 2. Bon bah on exprime déjà ce que c'est a n plus 1, et bien c'est la somme pour k égal à n plus 1 des k. Et c'est donc si on isole, juste là on tire le dernier terme, et bien c'est a n plus n plus 1. Or là on a supposé que a n c'était ça, c'est clairement l'hypothèse d'hérédité, l'hypothèse de récurrence, ça dépend comment on l'appelle, et là c'est très important de noter explicitement quand est-ce qu'on l'utilise. Donc là j'ai marqué h r pour hypothèse de récurrence, il faut indiquer quand est-ce qu'on utilise cette hypothèse, et donc c'est clairement à cette étape là qu'on transforme a n avec ce qu'on a supposé. Donc c'est n n plus 1 sur 2 plus n plus 1, et si on met tout au même dénominateur, on démontre effectivement que c'est n plus 1 n plus 2 divisé par 2. Alors c'est pour ça que c'est important dès le départ de montrer ce à quoi on veut arriver, puisqu'il faut pas se lancer dans une récurrence, dans une hérédité, sans savoir là où est-ce qu'on veut aller. Et donc là clairement on a établi l'expression voulue comme on l'avait dit au début. C'est quoi la conclusion de ça? Eh bien c'est que le fait que la propriété Pn soit vraie, ça implique que la propriété Pn plus 1 est vraie, donc c'est la fin de l'hérédité. Conclusion. Par principe de récurrence, nous avons montré que pour toute n appartenant à n étoiles, la somme pour k égal 1 à n des k, c'est n n plus 1 sur 2. Très bien. Bon maintenant il faut montrer les autres formules, sachant que c'est la même chose. Donc on pose une nouvelle propriété, cette fois c'est que Bn c'est n n plus 1 2 n plus 1 divisé par 6. L'initialisation pour n est égale à 1. Elle est vérifiée, très bien. L'hérédité, on pose bien n quelconque et on suppose la propriété au rang n, donc Bn est égale à n plus 1 2 n plus 1, le tout divisé par 6, et on tape texto, ce à quoi on veut arriver, surtout que là on obtient cette expression là, mais elle est factorisée au numérateur. Or on n'obtient pas toujours une expression factorisée, ce qui fait que c'est bien de la développer à cette étape là, c'est plus facile de la développer dans un sens plutôt que de la factoriser dans l'autre. Donc on en profite, on développe ici. Ensuite Bn plus 1 c'est la somme pour k égal 1 à n plus 1 des k carrés, et donc c'est Bn plus n plus 1 au carré, très bien. Bon là on utilise l'hypothèse de récurrence et puis on synthétise tout, on obtient bien finalement l'expression qu'on souhaitait démontrer. On a l'implication Pn vrai Pn plus 1 vrai, et donc finalement on a bien montré par principe de récurrence que la somme pour k égal 1 à n des k carrés c'est nn plus 1 2n plus 1 sur 6. Et finalement pour les cubes, alors là on nous demande de repartir de l'expression qu'on a déterminée à n. Très bien, bon, pour initialisation, le c1 ça vaut 1, et a1 au carré, et bien c'est 1 au carré, donc 1, la propriété vérifiée. Pour l'hérédité, on pose fixe n, et puis on suppose que Cn c'est an carré, mais bon on se doute qu'on va devoir quand même travailler sur n, du coup on explicite, ça vaut n carrés n plus 1 carrés divisé par 4. Et là on doit montrer que Cn plus 1 c'est ça au rang d'après, donc n plus 1 carré n plus 2 carrés divisé par 4, et ça nous donne cette expression que l'on souhaite déterminer. Alors maintenant Cn plus 1, on extrait toujours Cn et le terme supplémentaire, et puis d'après l'hypothèse de récurrence, on obtient finalement la bonne expression comme la dernière fois. Conclusion de l'hérédité, Pn vrai, on explique Pn plus 1 vrai, et la grande conclusion de la récurrence, par principe de récurrence, nous avons montré que la somme des cubes c'est la somme des puissances 1 au carré, et c'est n carrés n plus 1 au carré divisé par 4. Donc voilà, la méthodologie de la récurrence est très importante à retenir, et puis il faut retenir aussi le résultat, donc ça c'est très important d'avoir en tête ces trois résultats là, les trois les plus importants à retenir, la somme de la puissance 1, de la puissance 2 et de la puissance 3. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis à bientôt!

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