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EDL du 1er ordre

Dans cette vidéo, Mathis explique comment résoudre une équation différentielle non linéaire d'ordre 1 en utilisant un changement d'inconnue. L'équation E1 est -x²z' + xz = z², et on cherche des solutions sur l'intervalle 1 à l'infini qui ne s'annulent pas sur cet intervalle. Pour linéariser cette équation, Mathis pose y = 1/z et vérifie que y est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1, E2. En résolvant E2 sur y, Mathis trouve que les solutions sont de la forme x(e^(ln(x)/a + ln(x))) avec a appartenant à R. En prenant l'inverse de cette forme de solution, il trouve les solutions de E1 sur 1 à l'infini qui ne s'annulent pas, qui sont de la forme x(x/e^(ln(x)/a + ln(x))) avec a appartenant à R+. Grâce à ce changement d'inconnue, Mathis résout une équation qui était hors de notre champ de résolution.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo on va résoudre une équation différentielle via un changement d'inconnu. Alors on note E1 l'équation différentielle, "-x²z' plus xz est égal à z². Alors on cherche les solutions de E1 sur 1 plus infini, qui ne s'annulent pas sur i qui vaut 1 plus infini. Bon, et bien si on essaye de classer déjà cette équation différentielle, et bien elle n'est pas linéaire à cause de la puissance 2 qu'il y a sur le z. Donc là on est bien embêté vu que toutes les méthodes qu'on connaissait c'était pour des équations différentielles linéaires d'ordre 1. Par contre elle est bien d'ordre 1 ici. Alors, on pose justement pour nous aider y qui est égale à 1 sur z. Vérifiez que y est solution sur i d'une équation différentielle linéaire du premier ordre, notez E2. Alors ça va linéariser l'équation. Donc sur 1 plus infini, y égale 1 sur z, c'est équivalent à ce que z soit égal à 1 sur y. Donc on remplace directement. Avec z qui vaut 1 sur y, et bien c'est "-x²z' plus xz qui est égal à 1 sur y². La dérivée de 1 sur y c'est "-y' sur y². Et le tout on va multiplier par y². Donc l'équation différentielle linéaire d'ordre 1, vérifiée par y, et bien en divisant de même par x², attention, pas diviser par 0, c'est bon, on est sur 1 plus infini, et bien c'est y' plus 1 sur xy est égal à 1 sur x2. Donc c'est bon, on s'est ramené à une équation différentielle linéaire du premier ordre, donc on sait résoudre. Justement, résoudre E2 sur y, puis déterminer la solution de E1 sur 1 plus infini, qui ne s'annule pas sur y. Ok. Donc c'est parti pour la résolution classique. Pour la solution homogène, et bien l'équation homogène c'est y' plus 1 sur xy égale 0. La primitive de 1 sur x, c'est ln de x, donc la solution c'est x associé à exponentielle de moins ln de x, on fait rentrer le moins dans le ln, et donc au final on trouve bien sûr a sur x. Ok. Maintenant, pour la solution particulière, on utilise la variation de la constante, avec a de x sur x, en dérivant ça nous donne a prime de x sur x moins a de x sur x2, et puis c'est parti. On dirait que S est solution de E, si et seulement si a prime de x sur x est égale à 1 sur x2, donc a prime est égale à 1 sur x. 1 sur x, on sait le primitive et c'est ln de valeur absolue de x, on est sur 1 plus infini, il n'y a pas de souci pour les valeurs absolues, a de x est égale à ln de x. Et puis bien sûr la solution particulière est obtenue en divisant par x. Donc YS qui a x associé ln de x sur x, est solution particulière de E2. Ok. Donc on a la forme des solutions de E2, c'est x associé a plus ln de x, le tout divisé par x, a appartenant à R. Maintenant, il faut en déduire les solutions de E1 sur 1 plus infini. Et bien c'est tout simple, il suffit de prendre l'inverse, sachant qu'elles ne doivent pas s'annuler par contre. Donc les solutions de E1 sur 1 plus infini, qui ne s'annulent pas sur cet intervalle, et bien c'est les solutions qui a x associé, x divisé par a plus ln de x, a appartenant à R+. En effet, on est obligé de restreindre l'ensemble des valeurs prises par a, puisque si a était négatif, il pourrait exister des x qui annuleraient le dénominateur, c'est interdit. Donc sur 1 plus infini, x ne s'annule pas. Donc on a bien l'ensemble des solutions qui ne s'annulent pas. Donc voilà comment à partir d'une solution, enfin d'une équation qu'on ne savait pas résoudre, elle n'était pas dans notre champ de résolution, et bien à l'aide d'un changement d'inconnu, qui bien sûr nous est toujours proposé, et bien on arrive à déterminer ses solutions. Donc c'est un exercice très classique et très satisfaisant, vu qu'on arrive à aller plus loin de ce qu'on a appris. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

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