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EDL du 1er ordre

Dans cette vidéo, Mathis de Studio traite du problème classique de raccordement en équation différentielle. Pour résoudre ce problème, il commence par donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction se prolonge par continuité en 0 en évaluant les limites à gauche et à droite. Ensuite, il démontre que si cette condition est remplie, ce prolongement est dérivable en 0 et que la dérivée est continue en 0. Puis, il résout l'équation différentielle x²y' - y = 0 sur les intervalles -∞ 0 et 0 +∞. Il montre que l'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions qui ont x associé à exponentielle de moins 1 sur x, où a est un paramètre réel. Enfin, il explique l'enjeu du raccordement et souligne l'importance de vérifier des conditions de stabilité via la continuité et la dérivabilité pour assembler des solutions sur l'ensemble des intervalles.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on s'attaque à un problème classique en équation différentielle, c'est le problème de raccordement. Alors pour c et d des réels, on considère la fonction f définie sur r étoile par f du x qui est égal alors d'un côté, dans le côté positif, c exponentiel de moins 1 sur x et du côté négatif d exponentiel de moins 1 sur x. Ok, première question, donner une condition nécessaire est suffisante portant sur c et d pour que f se prolonge par continuité en 0. Eh bien f peut se prolonger par continuité en 0 si et seulement si la limite à gauche et la limite à droite sont les mêmes. Alors c'est parti pour les évaluer. Alors quand x tend vers 0 par valeur inférieure, eh bien moins 1 sur x, ça tend vers quoi? Ça tend vers plus l'infini normalement. En effet, moins 1 sur x, sachant que x tend vers et de signe négatif, eh bien en tendant vers 0, ça tend vers plus infini. Donc par composition par exponentiel, eh bien ça tend vers plus infini, seulement si d est strictement supérieur à 0. Mais bon, si d est strictement inférieur à 0, c'est égal à moins infini. La seule condition pour que la limite vaille 0, c'est que d vaille 0. En effet, si d vaut 0, eh bien f du x vaut 0 quand x tend vers 0 par valeur inférieure. Par contre, si on s'intéresse à la limite quand x tend vers 0 plus f du x, eh bien ici on a effectivement moins 1 sur x, qui tend vers moins l'infini. Or exponentiel de moins l'infini, ça tend vers 0. Donc là, peu importe la valeur du réel c, la limite ce sera 0. Donc ainsi, si on conclut, f du x est continu en 0, est prolongé par continuité, si et seulement si, la limite à droite c'est la limite à gauche, et donc si et seulement si, eh bien la seule condition, c'est que la seule possibilité c'est que d soit égale à 0. Question b, démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté f, est alors dérivable en 0 et que f' est continu en 0. Alors c'est parti, on va poser le nouveau raccordément en supposant que d soit égale à 0. Et à ce moment là, f c'est la fonction qui a x associé c exponentiel de moins 1 sur x, si x est strictement positif, et 0 sinon. Alors comme f est nul à gauche, eh bien elle est dérivable. Elle est dérivable à gauche et sa dérivée vaut 0. Ensuite, ce qui nous intéresse, c'est à droite. Comment est-ce que ça se passe à droite, sachant que ça fait ça ou ça. Alors pour x qui est strictement positif, eh bien on va évaluer le taux d'accroissement, en 0 bien sûr. f de x moins f de 0 sur x moins 0, c'est égal à c fois 1 sur x exponentiel de moins 1 sur x. Et donc ça, il faut déterminer sa limite pour savoir si la dérivée existe. Donc la limite quand x tend vers 0, eh bien ça nous ramène à une limite classique lorsque grand x tend vers plus infini de grand x exponentiel moins grand x. Et ça on connaît. C'est égal à 0 par croissance comparée. En effet, l'exponentiel permet de décroître beaucoup plus vite. Donc la limite quand x tend vers 0, petit x tend vers 0 de f de x moins f de 0 divisé par x, elle existe et elle vaut f prime en 0 plus, qui est égal à 0. Ça tombe bien puisque c'est la même à gauche. Donc f est dérivable en 0 et la limite quand x tend vers 0 de f prime de x, c'est la limite quand x tend vers 0 moins f prime de x et c'est 0. Donc f prime est continu en 0. À ce moment-là, f fait partie d'une classe de fonctions que l'on appelle les c1. C'est celles qui sont dérivables et de dérivées continues. Lorsque c'est juste dérivable, c'est, on la note, d1. Donc en fait, il y a une suite d'inclusion, sachant que la continuité implique la dérivabilité. Enfin, c'est l'inverse. La dérivabilité implique la continuité. On a donc l'ensemble des fonctions continues, on le sait, c'est c0. Et bien, cet ensemble est inclus dans l'ensemble des fonctions dérivables. Donc dérivable une fois, d1, qui lui-même est inclus dans l'ensemble des fonctions c1 qui sont dérivables et de dérivées continues, qui lui est inclus dans l'ensemble des fonctions deux fois dérivables, qui lui est inclus dans l'ensemble des fonctions deux fois dérivables et de dérivées secondes continues. Voilà, c'était une petite parenthèse sur les ensembles de fonctions. Continuons. Question 2. On considère l'équation différentielle x² y prime moins y égale 0 et on doit résoudre cette équation sur les intervalles comme par hasard 0 plus infini et moins infini 0. Donc, on commence par moins infini 0. Et bien en fait, il n'y a pas de changement de l'équation en elle même et on se retrouve avec une équation classique à résoudre. Une primitive de moins 1 sur x2, c'est tout simplement 1 sur x. Et en fait, on obtient la même chose si on était parti sur 0 plus infini. Donc, l'ensemble de solutions sur moins l'infini 0, c'est le même que l'ensemble des solutions sur 0 plus infini et c'est l'ensemble des fonctions qui a x associé à exponentielle de moins 1 sur x, a étant un paramètre réel. Et là, ça y est, on entre dans le dur du raccordement, car la question suivante, c'est de résoudre l'équation précédente sur R. Alors, pour vous situer la chose, si on fait le repère comme ça juste ici, on a un ensemble de fonctions qui sont solutions à gauche. On sait qu'elles tendent vers 0, c'est des exponentielles, donc je vais le faire comme ça. Mais on a aussi un ensemble qui est le même d'ailleurs, donc c'est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, qui est le même à droite. Maintenant, on voudrait construire une solution qui est valable sur R, donc faire un raccordement ici en 0, raccorder par exemple cette solution ici avec cette solution là. Sauf que ça doit vérifier des propriétés particulières, en effet, ça doit résoudre une équation différentielle, donc il faut qu'elle soit dérivable et de dérivé continu. Or, si on regarde les solutions qu'on a établies ici, c'est exactement ce pourquoi on nous a fait travailler juste avant, comme par hasard. Alors maintenant, on n'a plus qu'à exprimer la condition. Pour construire une solution sur R, il faut raccorder une solution à gauche et une solution à droite. Or, il faut que cette solution soit c1 sur R. Elle va résoudre l'équation différentielle, ça fait intervenir la dérivée, donc il faut que la dérivée soit continue. Donc, en particulier, il faut qu'elle soit c1 en 0. On sait qu'elle va être en 0, autre part qu'en 0, il n'y a pas de souci. Or, d'après notre travail précédent, à gauche on doit avoir un facteur préexponentiel qui est nul, et puis à droite il peut valoir ce qu'il veut. Donc au final, d'après l'étude que l'on a menée, à la fois le 1 et le 2, l'ensemble des solutions de E sur R, c'est l'ensemble des solutions qui a x associé 0 si x est négatif ou nul, et a exponentiel de moins 1 sur x si x est strictement positif à étant un réel positif. Donc voilà, nous avons exprimé les solutions. D'ailleurs, je ne sais pas pourquoi j'ai mis un réel positif, vu qu'on a finalement déterminé que c était n'importe quel réel, oui, donc c'est pour n'importe quel réel, je vais corriger ça dans le pdf. Donc, si on essaie de représenter l'ensemble des solutions sur R, et bien elles commencent toutes à 0 pour x inférieur ou égal à 0, et après elles peuvent valoir n'importe quel exponentiel. Voilà, c'est la fin de cet exercice de raccordement. Donc très important de comprendre c'est quoi tout l'enjeu du raccordement, c'est le fait de, on a des solutions sur une partie d'intervalle, une solution de l'autre côté, on aimerait assembler les deux pour former une solution sur l'ensemble d'intervalles, or ça doit vérifier des conditions de stabilité via la continuité et la dérivabilité, donc on mène des études et puis à partir de là on en tire les conclusions suivantes, vous avez vu, c'est pas simplement n'importe quelle solution de la forme c exponentielle de moins 1 sur x et d exponentielle de moins 1 sur x, il y a des conditions à vérifier, et à partir de là c'est bon, on a toutes les solutions possibles. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt!

Classique : Raccordement

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