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Continuité en un point

Dans cette vidéo, on explore la continuité de fonctions et on étudie pour quelle valeur de a la fonction f est continue, ainsi que pour quelle valeur alpha, beta et gamma les fonctions g sont continues. On vérifie également que les morceaux de fonctions sont bien raccordés entre eux, et pour quelles valeurs de constantes. La fonction f est continue sur r privé de 1 pour a=1 ou 0, et g est continue sur r privé de 0 et 1 pour alpha, beta et gamma appartenant à l'ensemble x 1 moins x, x pour x appartenant à R.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une nouvelle vidéo où on va explorer la continuité de fonctions. Donc là on a des fonctions ici f et g et on va devoir étudier pour quelle valeur de a ici la fonction f était le continu et pour quelle valeur alpha, beta, gamma les fonctions g étaient le continu. Donc on a des fonctions ici qui sont découpées en plusieurs morceaux donc en fait là c'est des morceaux qui sont chacun continu et on va devoir vérifier qu'ils se raccordent bien entre eux entre guillemets et pour quelle valeur de les constantes s'ils raccordent bien. Ici on a trois morceaux et on a deux points de regardement à vérifier. Donc pour la question 1, f est continue sur r privé de 1 car la fonction ax carré continue sur moins 1 plus l'infini et la fonction a sinus pi sur 2 x et continue sur 1 plus l'infini. Maintenant on va étudier la limite de f de x pour x super strictement supérieur ou égal à 1 donc par valeur positive quand x est envers 1. Pourquoi on étudie que par valeur positive? Parce que le but c'est de vous montrer la continuité ici en 1, du coup pour ça on va vouloir montrer la continuité en 1 à droite et en 1 à gauche. Donc pour la continuité à gauche, on a déjà la continuité à gauche parce que ici c'est x est inférieur ou égal à 1. Donc ici cette fonction est déjà continue à gauche sur moins l'infini 1 et maintenant on n'a plus qu'à vérifier la continuité à droite en 1. Donc maintenant pour la continuité à droite c'est la limite de f de x à droite en 1 et donc c'est la limite de a sin pi sur 2 x à droite en 1 qui est égal à a. Or la limite de f de x en 1 strictement par valeur négative c'est égal à la limite de ax carré par valeur négative c'est égal à a carré. Donc f est continue sur r, si et seulement si f est continue en 1, puisqu'elle est déjà continue sur r pris de 1. Si et seulement si a carré égal à a donc f est continue sur r pour a est égal à 1 ou 0. Donc on peut encadrer et on passe à la question 2. Maintenant déterminer toutes les valeurs des constantes alpha, beta, gamma telles que la fonction g suivante soit continue. Donc maintenant là on a deux points de raccordement à satisfaire et on a trois constantes alpha, beta, gamma. Donc on cherche une relation sur alpha, beta, gamma pour que la fonction soit continue sur r. Donc la fonction g est continue sur r privé de 0, 1. Je ne vous fais pas le détail mais 1 est continue, exponentielle est continue, on a les exponentielles ici, une fonction affinée des exponentielles donc c'est continue. Donc la limite de f de x ici en x en 0 par valeur positive 1, donc on a besoin que de la valeur positive 1 parce qu'on a l'inégalité stricte ici dans ce cas là mais elle est déjà continue à gauche en 0 à cause de cette égalité large. Et donc c'est égal à la limite de alpha exponentielle de moins x, beta exponentielle de x, gamma x exponentielle de x, moins exponentielle de moins x. Et cette limite est égale à alpha plus beta. Donc f est continue en 0, si et seulement si alpha plus beta égal à 1. Donc là on a une première relation sur alpha et beta. Maintenant la limite de f de x en 1 moins, donc on va vérifier la continuité dans le deuxième point de rupture c'est à dire en 1, donc et là c'est par valeur négative 1 donc par valeur positive on a déjà la continuité grâce à l'inégalité large. Donc on a déjà la continuité à droite en 1. Ainsi cette limite est égale à alpha sur e plus beta sur e plus gamma e moins 1 sur e. Et donc f est continue en 1, si et seulement si alpha sur e plus beta sur e plus gamma e moins 1 sur e est égale à e. Donc là on a deux relations, donc ça veut dire que f est continue, si et seulement si alpha plus beta égal à 1, donc elle est continue en 0 et elle est continue en 1, parce qu'elle est déjà continue sur r privé de 0, 1. Donc là on a un système et donc on va résoudre ce système. Donc on associe à la, on utilise la ligne 1 comme notre pivot et on associe à la ligne 2, la ligne 2 moins la ligne 1, donc on soustrait la ligne 1 à la ligne 2. Voilà, alors là ne pas oublier surtout de soustraire ici, là c'est facile on le porte toujours au côté gauche de l'équation, ne pas oublier de soustraire aussi le côté droit 1, on l'oublie souvent, enfin en tout cas moi je me rappelle que je l'oubliais souvent et donc souvent on peut se tromper sur ce genre de choses et trouver des résultats complètement faux. Donc ne pas oublier de soustraire ici. Donc quand on soustrait ou additionne des lignes entre elles, ou on les soustrait avec des coefficients, les systèmes restent équivalents. Donc on peut mettre des équivalences ici. Donc on a ici finalement, là si on simplifie cette équation, on divise par E carré moins 1 ici, qui est différent de 0, voilà on a alpha plus beta égal à 1 et gamma plus beta égal à 1. En fait là on a une infinité de solutions, voilà parce que c'est un système à deux inconnus, enfin trois inconnus et on a deux équations donc voilà c'est attendu. Donc là on réorganise, on dit que beta est égal à 1 moins gamma et alpha est égal à gamma parce que vu qu'on a une infinité de solutions, on va tout exprimer en fonction d'une des variables, donc ici gamma. Donc f est continu pour alpha, beta, gamma appartiennent à l'ensemble x 1 moins x, x pour x appartenant à R, parce que gamma est égal à gamma, voilà ce que nous dit le système, le statut du système. Beta est égal à 1 moins gamma donc voilà et alpha est égal à gamma donc x 1 moins x, x et gamma lui est libre, il peut parcourir R. Donc ça nous donne cet ensemble. Ainsi on a l'ensemble des points pour lesquels f est continu, enfin f est continu pour l'ensemble de ces valeurs là, de alpha, beta, gamma. Voilà c'est la fin de ces exercices et on se dit à une prochaine fois!

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