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Continuité en un point

Dans cette vidéo, Paul étudie le prolongement par continuité de fonctions contenant des sinus et des cosinus. Il commence par examiner si la fonction f2x = sinx*sin(1/x) est prolongeable par continuité à R entier. En appliquant une inégalité et en montrant que la limite en 0 est bornée, il conclut que la fonction est bien prolongeable par continuité. En revanche, lorsqu'il examine la fonction g = cos(x)*cos(1/x), il constate que cette fonction ne peut être prolongeable par continuité car cos(1/x) tend vers 1 en 0, ce qui ne permet pas d'écraser les oscillations. Paul utilise la méthode de considération de deux suites qui tendent vers 0 mais dont les limites diffèrent, pour prouver que la limite de g en 0 n'existe pas. Enfin, Paul étudie la fonction h = sin(x+1)*ln(1+x) qui présente une forme indéterminée en -1. En appliquant une astuce pour ramener la limite en 0, il montre que la fonction est prolongeable par continuité. Ainsi, il conclut que h est bien prolongeable par continuité sur R.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo pour un exercice sur les prolongements par continuité de fonctions avec des sinus et des cosinus à l'intérieur. Donc ici on va étudier le prolongement par continuité. Est-ce que ces fonctions sont prolongeables par continuité à R entier? Donc en fait on remarque ici c'est des fonctions continues qui ne sont pas définies en 0, 0 et moins 1. Donc f2x d'abord qui est égal à sinx fois sin1 sur x, 6x différentes zéros. Donc déjà est-ce qu'elle va être prolongeable par continuité par voilà sin1 sur x ça fait quoi? Sin1 sur x ça n'a pas de limite en 0 mais sinx est égal à 0 donc 0 fois pas de limite parce que c'est pas de limite mais c'est borné parce que sin1 sur x en 0 ça va beaucoup d'oscillations comme ça et quand ça va s'éloigner de 0 ça va c'est des oscillations qui vont s'écarter. Et donc ces oscillations ici sont bornées donc la limite en 0 va pouvoir les écraser. Donc c'est ce qu'on va marquer f est continue sur R étoile donc de plus quelque soit x appartenant à R étoile on a que valeur absolue de sinx est inférieure ou égale à x donc ça c'est bien une inégalité à connaître et que sin1 sur x ici est borné donc on dit que c'est inférieur ou égal à 1. Valeur absolue de x tend vers 0 quand x tend vers 0 donc f2x tend vers 0 quand x tend vers 0 ainsi f est prolongeable par continuité à R par f chapeau qui a x associé f2x si x est différent en 0 et 0 si x est égal à 0. Ok donc on encadre et on passe à la question suivante. Donc là la question suivante c'est la même la question, pardon, la forme pardon la fonction g est égale à cos x cos1 sur x donc c'est la même fonction que la fonction f mais avec des cos à la place donc on avait vu que cos1 sur x n'avait pas de limite en en 0 voilà intuitivement mais cos1 sur x c'est la même chose sauf que le problème c'est que cos1 sur x ça tend pas vers 0, ça tend vers 1 en 0 et donc ça va pas pouvoir écraser ces oscillations. Donc on va essayer de prouver qu'elle n'a pas de limite en 0 Voilà au brouillon et donc ça c'est au brouillon et on considère les suites u et v donc voilà la manière ultime de prouver que ce n'a pas de limite c'est de considérer deux suites et de montrer que ces deux suites n'ont pas la même limite deux suites qui tendent vers 0 mais ces deux suites n'ont pas la même limite une fois qu'on a pris leur image par la fonction g donc on les définit par un est égal à 1 sur 2 pi n et vn est égal à 1 sur 2 pi n plus pi sur 2 vn et un converge vers 0 mais on a que g de un est égal à cosinus de un fois cosinus de pi donc c'est égal à cosinus de un donc ça tend vers 1 parce que un tend vers 0 donc ça tend vers 1 quand n tend vers plus infini et g de vn est égal à cosinus de vn fois cosinus de pi n plus pi sur 2 donc 2 pi n plus pi sur 2 ça fait cosinus égal à 0 donc c'est égal à 0 donc ça tend vers 0 quand n tend vers plus infini les limites sont différentes donc ça contredit l'existence de la limite en 0 donc g n'admet pas de limite en 0 et n'est donc pas prolongeable par continuité en 0 on encadre et on passe à la question suivante donc la fonction h ici qui est égale à sinus x plus 1 fois le garilin de 1 plus x c'est x différent de 1 de moins 1 donc déjà on va étudier voir qu'est-ce que cette limite en moins 1 peut être donc h elle est continue sur r privé de moins 1 et h de x ici quand x tend vers moins 1 sin x ça tend vers 0 et le garilin de valeur absolue de 1 plus x ça tend vers moins l'infini quand x tend vers moins 1 donc parce que 1 plus x ça tend vers 0 donc c'est une forme indéterminée donc pour lever l'indétermination là on a du sinus et du logarithme donc c'est des fonctions usuelles mais les fonctions usuelles les limites on les connaît bien en 0 donc on va poser u égal x plus 1 et comme ça on ramène la limite en 0 donc limite en u donc h de x est égal à sinus de u et logarithme de valeur absolue de u et en fait du coup l'astuce c'est de faire apparaître du sinus u sur u dont on connaît la limite donc 1 ça tend vers 1 ça c'est bien à connaître par coeur et après maintenant on n'a plus que du u logarithme de valeur absolue de u et ça par croissance comparée on connaîtra sa limite donc ça ça tend vers 1 quand x tend vers moins 1 et u logarithme de valeur absolue de u ça tend vers 0 quand x tend vers moins 1 par croissance comparée parce que u veut tendre vers 0 et logarithme de u veut tendre vers moins l'infini mais le logarithme est toujours plus faible que la fonction affine donc par croissance comparée c'est la fonction affine qui l'emporte donc ça tend vers 0 et donc ainsi la forme n'est plus indéterminée et limite de h de x quand x tend vers moins 1 est égal à 0 donc h est prolongeable par continuité sur r par h chapeau qui va de r dans r et qui a x associé h de x si x est différent de 0 et 0 si x est égal à 0 voilà c'est la fin de ce vidéo 6 et on se dit à la prochaine fois

Prolongements par continuité de fonctions cosinus et sinus

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