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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 2nd ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio analyse un relevé expérimental d'un circuit composé d'une bobine, d'un condensateur et d'un générateur imposant un échelon de tension. Il cherche à déterminer la hauteur de l'échelon de tension, la nutance et la capacité. Il identifie les informations disponibles dans la courbe, y compris un temps caractéristique, une pseudo-période et différentes amplitudes. Il modélise ensuite le circuit en incluant une résistance interne du générateur et résout l'équation différentielle pour obtenir les paramètres RLC série habituels. À partir de là, il peut extraire la nutance et la capacité en utilisant √1/2² et 4Pi²/pseudo-période². Enfin, il utilise les conditions initiales pour déterminer la hauteur de l'échelon de tension, en obtenant un résultat de -5V. La vidéo montre une démarche pratique pour analyser les relevés expérimentaux et manipuler les équations pour obtenir les informations recherchées.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va analyser, décortiquer un relevé expérimental. Alors voici de ce dont on dispose. La courbe ci-dessous représente le courant mesuré dans un circuit formé d'une bobine et d'un condensateur monté en série avec un générateur imposant un échelon de tension. On admet que la bobine est très bien décrite par une bobine idéale, mais pas le générateur. On va analyser la courbe pour déterminer la hauteur E de l'échelon de tension, la nutance L et la capacité C. Bon déjà, on doit déterminer 3 grandeurs. On doit sans doute extraire au moins 3 informations de cette courbe et c'est justement l'objet de l'analyse qu'on doit faire dans un premier temps parce que c'est vraiment très peu guidé comme exercice, sans doute un exercice de concours. Du coup on va y aller pas à pas. Quelles informations est-ce qu'on peut tirer de la courbe? Alors, d'abord on peut en tirer un temps caractéristique. Vous savez c'est le cas pour un premier ordre mais c'est le cas aussi pour un second ordre. On a souvent une enveloppe exponentielle qui décroît avec un temps caractéristique particulier qui se retrouve dans les équations. On a aussi une pseudo-période, ici on remarque clairement un régime pseudo-périodique. Donc une pseudo-période qui serait ici puisque, pourquoi ça s'appelle d'ailleurs pseudo-période puisque une période vous savez c'est la répétition dans le temps d'un même motif, la durée avant une deuxième répétition. Et bien la pseudo-période ici c'est puisque c'est pas exactement le même motif à chaque fois, c'est pour ça qu'on appelle pseudo-période. Et puis on a accès aussi à différentes amplitudes, voilà la première, la deuxième, la troisième, on voit si on pourra en extraire des informations plus tard. Donc on les relève. Pour la décroissance exponentielle on a le temps caractéristique et puis la pseudo-pulsation, c'est pourquoi j'ai mis les relevés ici. Après il faut modéliser le circuit forcément. Du coup, le générateur non idéal impose qu'il y ait une résistance résiduelle, une résistance interne au générateur. Bon là, pour le faire un peu plus pédagogique on va peut-être la mettre en sortie du générateur. Avec une bobine et le conducteur qui sont eux idéaux. Donc on sait que c'est une résistance interne, donc c'est une résistance assez faible pour le générateur, donc on peut poser arbitrairement R qui vaut 50 O. Mais vous aurez pu choisir une autre valeur petite. Ensuite, sans doute qu'il va falloir à partir de là faire apparaître les grandeurs dont on a parlé. Donc, il ne faudra pas de ces grandeurs là, posez l'équation différentielle, la résoudre et puis à partir de là on va travailler sur les relevés. Donc c'est parti, on part sur la loi des mailles qui nous est donnée juste ici. On sait que c'est le graph de l'intensité. On est obligé de se ramener à l'intensité. Pour se ramener à l'intensité ici, UC, on sait que c'est relié à l'intensité via la relation courant tension pour un condensateur. Donc c'est I est égal à CD2U sur DT. Donc il faut faire apparaître cette dérivée. On dérive et hop, on obtient cette relation là que l'on normalise et dont on identifie les paramètres ω0 et Q. C'est la résolution classique de ces équations. Au final on se rend compte que c'est du RLC série, c'est les paramètres habituels mais ils auraient pu avoir changé un petit peu. Et donc la solution pour, je ne vous refais pas toute la démonstration, allez voir la vidéo intitulée « Solution de l'équation différentielle du RLC série » si vous voulez approfondir ce détail là. Enfin ce n'est pas un détail, il faut approfondir cette notion. On obtient cette solution là avec α qui est égal à ω0 sur 2Q avec O qui est la pseudo pulsation qui vaut ω0 à la signe de 1-1 sur 4Q². Et donc pour se ramener à ce que nous on peut relever, pour toujours ramener aux grandeurs que l'on peut mesurer, α c'est 1 sur 2, c'est le facteur de décroissance exponentielle. Et O c'est 2Pi sur la pseudo période, par définition vu que c'est la pseudo pulsation. Voilà, donc ensuite on peut essayer d'extraire, vu que ω0 contient les informations sur L et C, on essaie de le ramener à partir de deux différentes grandeurs, donc c'est √1 sur 2² plus 4Pi² sur la pseudo période O² et Q c'est ω0 taux sur 2. Très bien, donc on peut là extraire L et C. L et C, du coup L d'après l'expression de Q c'est R taux sur 2 et puis C c'est 1 sur L facteur de 1 sur taux² plus 4Pi² sur TP². Bon, à partir de là on a toutes les informations dont on dispose pour les évaluer, et donc c'est bon on a répondu à la question pour L et C, c'est 2 10-2 Henry et puis c'est 2 10-8 Farad. Très bien, bon ensuite on doit évaluer la dernière partie de la question c'est la hauteur de l'échelon E. Très bien, donc comment est-ce qu'on va s'en sortir? On va se ramener en fait à la détermination complète de I, donc pour ça il nous faut les conditions initiales. Bon j'ai posé, vu que c'est la hauteur de l'échelon, en fait ça part d'un niveau initial et ça va à un niveau final pour l'échelon, et donc j'ai posé des grandeurs si on en a besoin. Très bien, les conditions initiales c'est quoi? C'est commentaire en régime permanent avant, vu que le courant c'est dUc sur dt avant ça valait 0 et par continuité du courant traversant une bobine c'est égal à ce qu'il y avait en 0- donc 0, et la loi des mailles peut nous donner une information sur la seconde dérivée, c'est là que ça va faire intervenir l'échelon de tension et c'est ça qui est intéressant. En fait, la loi des mailles en 0+, ça nous donne que E2, donc la tension qui était imposée par le générateur, c'était Ur en 0+, donc Ri en 0+, donc 0, c'était Ul en 0+, donc Ldi sur dt en 0+, bon ça on le garde vu que ça nous intéresse, et puis Uc en 0+, par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur c'était Uc en 0- et donc c'était la valeur qu'avait le générateur juste avant, c'est à dire E1 vu que c'est passé de 1 à E2. Donc on en déduit que Di sur dt en 0+, ça vaut l'échelon de tension donc E2-1 divisé par L. Bon on remarque qu'on ne peut pas revenir à E2 ou à E1 séparément, c'est la différence qu'on peut déterminer. Donc c'est la seule information disponible, mais c'est pas grave puisque la question nous demande juste d'évaluer la hauteur, donc E2-1. Alors on détermine ensuite, on continue la résolution de l'équation différentielle, les constantes on obtient A égale 0 et B égale E sur L oméga, donc finalement I de t c'est E sur L grand oméga sinus de grand oméga t exponentiel de moins alpha t. Et ensuite pour essayer de ramener ça à des évaluations expérimentales, on peut utiliser le premier pic ici. C'est l'un des pics les plus importants donc c'est assez facile à déterminer. Il est situé à tp sur 4. Donc évaluons l'expression obtenue ici à tp sur 4. Et bien pour le sinus, la pseudo-période c'est 2pi sur tp, donc en tp sur 4 ça va faire pi sur 2. Le sinus de pi sur 2 c'est bien 1. Et du coup on a E sur L grand oméga exponentiel de moins alpha tp sur 4. Comme tp est très petit devant le temps caractéristique d'évolution, on peut le voir ici sur le graph, on a eu le temps de faire beaucoup de battements avant d'atteindre le temps caractéristique. Et bien on peut considérer que cet exponentiel est très proche de 1 et donc E divisé par L grand oméga correspond environ au premier extrémum observé. Et donc E divisé par L grand oméga c'est environ I min qui vaut lui moins 5 mA. On en déduit que E est égal à L grand oméga I min et par application numérique on trouve que la hauteur de l'échelon de tension qui était appliquée c'était moins 5V. Donc voilà, c'est un exercice très pratique sur comment est-ce qu'on analyse des relevés expérimentaux avec une démarche globale d'identifier ce qu'on peut extraire des relevés et puis ensuite essayer de manipuler l'équation pour se mettre en forme pour obtenir ce qu'on souhaite. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis à bientôt!

Analyse de relevé expérimental

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