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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio étudie un circuit RC en parallèle, dans lequel l'interrupteur K est brusquement fermé. Pour trouver l'expression de la tension U et tracer son allure, il applique la loi des mailles et normalise l'équation différentielle pour obtenir une solution générale et particulière. Il détermine une condition initiale à partir du régime permanent précédent et utilise cette information pour déterminer la constante arbitraire de sa solution. Enfin, il trace l'allure de la tension U en utilisant les informations trouvées précédemment et conclut que le condensateur ne se décharge pas totalement, restant à une tension de E sur 2.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier un circuit RC en parallèle. Alors considérons le circuit représenté ci-contre, dans lequel l'interrupteur K est brusquement fermé, le générateur est une source idéale de tension. Trouver l'expression de la tension U et tracer son allure. Bon ben là, l'exercice nous laisse en autonomie, on doit totalement tout faire de nous-mêmes. Donc c'est parti, analysons d'abord le circuit au préalable. Qu'est-ce qu'on peut dire? On a effectivement une partie RC qui est inhabituelle vu qu'elle est en parallèle. Elle est en parallèle de quoi? D'une source idéale de tension et d'une résistance. Qu'est-ce qu'on va faire? Tout d'abord, pour trouver l'expression de la tension U, on sait qu'on doit résoudre une équation différentielle. Et pour résoudre une équation différentielle, pour la trouver, on applique très souvent une loi des mailles. Et bien c'est ce qu'on va faire. D'ailleurs on a plusieurs lois des mailles à appliquer ici. Tout d'abord, on annote les différents courants dont on va avoir besoin. Puis c'est parti, la loi des mailles à gauche nous donne quoi? Elle nous donne que E est égale à Ri plus U. U c'est la tension au bord de R mais c'est aussi la tension au bord du condensateur. Et puis, la loi des nœuds en M, qu'est-ce qu'elle nous dit? Elle nous dit que ce courant I est divisé en deux courants, un qui va aller dans la résistance, donc IR, et un qui va aller dans le condensateur, IC. Or IC, ça y est, on peut l'exprimer en fonction de U. C'est C, D de U sur DT, par propriété du condensateur. Et IR, on peut aussi l'exprimer en fonction de U, vu que c'est la tension au bord de la résistance. Donc c'est U divisé par R. Vous voyez, les deux courants s'expriment en fonction de la tension U. Top! Donc pour revenir ici, pourquoi on ne laissait pas I? On l'a distingué suivant IC et IR, et deux s'expriment en fonction de U, donc c'est bon. On peut résumer, RC, D de U sur DT, plus deux fois U de T, parce qu'il y en a un qui vient de là et un qui vient du fait qu'on a multiplié R avec U de R, et bien ça est égal à E. Super! Pour obtenir l'équation différentielle qui convient, on normalise, on met un petit 1 devant le terme de plus haut degré de dérivation, et puis on obtient cette équation différentielle. Bon, maintenant il s'agit de trouver l'expression de la tension U, donc il faut résoudre cette équation différentielle, trouver la tension qui vérifie cette équation. Et bien là on est parti pour la méthode classique. La première étape, c'est de trouver la solution générale. Alors la solution générale qui est associée à l'équation homogène, donc égal 0, qu'est-ce qu'on a? On a U de T, qui est donc égale à une constante fois exponentielle de moins le terme, ici, donc 2T divisé par RC. Très bien, voici l'expression de la tension homogène, et puis ensuite la deuxième étape, c'est de trouver une solution particulière. On cherche souvent U comme étant constante, donc ici, qu'est-ce qui vérifie ça en étant constant? Et bien on essaye, là on regarde, on a du RC, on a du RC, un 2 et un E, donc pour égaliser le tout, on doit poser bien sûr U qui vaut E sur 2, dont la dérivée est nulle, donc ça vérifie bien l'équation différentielle. Très bien, troisième étape, comme d'habitude, on somme les deux expressions et on cherche maintenant à déterminer les constantes, alors ici il n'y en a qu'une, c'est A. Donc la solution que l'on cherche à déterminer, c'est A exponentielle de moins 2T sur RC plus E sur 2. Et maintenant on va chercher une condition initiale afin de déterminer ce facteur qu'on a posé arbitrairement mais qu'on n'a pas totalement déterminé. Donc pour chercher une condition initiale, on va aller regarder ce qui se passait avant que l'interrupteur ne soit enclenché. Donc l'interrupteur est brusquement fermé, ça veut dire qu'avant, le régime permanent était établi. Or, régime permanent, ça veut dire quoi? Ça veut dire n'importe quelle dérivée d'une grandeur était nulle, il n'y avait plus de variation de toutes les grandeurs que l'on regarde. Or, on sait que IC, c'est C d2u sur dt. Je vais sans doute le détailler. Alors comment je l'ai exprimé? A t égal à 0, oui. Donc UR, qui est égal à 0, puisque C d2u sur dt, ça vaut 0, puisqu'on est à un régime permanent. Or UR, c'est bien R fois I en 0 moins, donc ça vaut 0. Ça veut dire qu'avant, lors du régime permanent, il n'y avait pas de tension aux bandes de la résistance. Donc on peut écrire un petit schéma équivalent. Le schéma équivalent, c'était quoi? C'était un générateur, qui était toujours 1, avec la tension nulle, donc c'est un fil de tension, et le condensateur. Donc par loi des mailles, on en dit directement que la tension U qui était ici, en 0 moins, attention on est toujours en 0 moins, et bien ça valait E. Donc le condensateur était totalement chargé. Or, on se fait plaisir, on balance notre phrase magique, par continuité de la tension aux bandes d'un condensateur, vous voyez, vous commencez à l'aimer déjà, U en 0 plus est égal à U en 0 moins, et c'est égal à E. Donc on a notre condition initiale, on n'a plus qu'à reprendre l'expression qu'on avait déterminée dans notre méthode de résolution de l'équation différentielle. Donc U en 0 plus, si on l'évalue, ça valait, en 0 ça vaut 1, donc A plus E sur 2, et on a déterminé que ça valait E, donc A est égal à E sur 2. Et voilà, U de T est égal à E sur 2, facteur 1, plus exponentiel de moins de T sur RC. Ensuite pour tracer son allure, on n'a plus qu'à se relier au graphe, on a quelques informations dont on dispose. Donc au départ, on avait une tension E, et puis à la fin, on sait que lorsque T est envers plus infini, le moins infini, ça tend vers 0, et donc U de T tend vers E sur 2. Très bien, on sait en plus que c'est une décroissance exponentielle, donc ça a cette allure là. Pour trouver la tangente à l'origine, on a juste à dériver et on tombe au final avec l'intersection Ivo le temps, caractéristique d'évolution d'origine. Donc voilà, c'est des informations complémentaires qu'on peut apporter au graphique, et puis ça permet de tirer des informations, c'est très intéressant du point de vue de l'examinateur d'avoir un candidat qui est capable de faire ça. Et ce qui nous permet finalement de tracer l'allure de U. Donc au final, le condensateur ne se décharge pas totalement, il reste à une tension de E sur 2. C'est la conclusion que l'on peut tirer de cette étude du circuit IRC parallèle. Merci beaucoup d'avoir suivi la vidéo et on se retrouve très bientôt.

Circuit RC parallèle

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