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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio étudie un circuit RL à 2 mailles. Il faut étudier l'évolution de la tension S aux bornes d'un dipôle en dérivation composé d'une résistance R sur 2 et d'une bobine L. Le circuit est alimenté par un générateur de tension continue E en série avec une résistance R. Pour résoudre le circuit, la méthode classique de résolution est utilisée, en établissant l'équation différentielle et en trouvant la solution générale ainsi que la solution particulière. Les conditions initiales sont obtenues en appliquant la continuité du courant à travers la bobine. La solution de l'équation est S de t est égal à E sur 3 exponentielle de moins R sur 3 L fois t. Des informations supplémentaires sont données pour tracer la courbe de la tension.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier un circuit RL à 2 mailles. Alors, on nous indique les conditions suivantes, l'interrupteur est fermé à l'instant t égale 0, et on demande d'étudier l'évolution de S et de tracer sa courbe. Alors S c'est quoi? C'est la tension aux bornes d'un dipôle en dérivation, constituée d'une résistance R sur 2, et puis d'une bobine L. Voilà pourquoi c'est un circuit RL à 2 mailles. Le reste du circuit est composé d'un générateur de tension continue E, et en série avec une résistance R. Bon, étudier l'évolution de S et de tracer sa courbe, ça nous laisse champ libre pour dérouler la méthode classique de résolution. On a pas trop de questions à se poser, on va directement essayer d'établir l'équation différentielle reliée à S de T, la résoudre, et tracer la courbe. C'est parti! Alors, tout d'abord qu'est-ce qu'on peut faire? On a le réflexe, équation différentielle, ça nous donne envie d'appliquer la loi des mailles. Donc tout d'abord, bien sûr on indique les différents courants qui vont passer dans les branches, puisqu'on sait qu'on va en avoir besoin. Et puis la loi des mailles dans la grande maille, elle nous dit quoi? Elle nous dit que la tension au bandeau dipole S plus R I de T, c'est égal à E, tout simplement. Et là on va pouvoir distinguer, parce que du coup la seule inconnue que l'on a ici c'est I de T, bon I de T y'a pas de soucis, avec une loi des noeuds en M, on peut l'obtenir suivant I1 et I2. Et I1 et I2 on va pouvoir les relier à la tension S. Alors comment? I1 tout d'abord c'est S de T divisé par R sur 2, c'est la loi d'Ohm, et donc on a directement le lien entre les deux. Puis l'autre c'est un peu moins direct. En effet on a la relation courant-tension pour une bobine, c'est S de T, qui est égale à L d de I2 sur dT. Alors là on a pas vraiment d de I2 sur dT, on a I2. Donc idéalement on aimerait pouvoir dériver toute cette relation pour faire apparaître du S. Et donc dériver toute cette relation pour faire apparaître du S. Voilà, c'est l'idée à retenir. Donc on dérive la deuxième équation, d de I sur dT, c'est égal à quoi? Alors la dérivée de I1, on l'a déterminé, c'est 2 sur R fois la dérivée de S. Plus la dérivée de I2, la même chose, la dérivée de I2 c'est S divisé par L. Donc voilà l'équation à laquelle on arrive. Donc là on a une relation entre S et d de I sur dT. Bon, ici on n'a plus qu'à dériver pour faire apparaître ce dont on a envie. Donc 1 en dérivée ça nous donne d de S sur dT plus R dI sur dT égale à 0. Et là c'est bon, dI sur dT on n'a plus qu'à le remplacer. Et en faisant les petits calculs on obtient dS sur dT plus R sur 3L S de T est égal à 0. On a établi l'équation différentielle régissant l'évolution de S de T. Très bien, maintenant pour déterminer S de T, on va résoudre cette équation différentielle et trouver la solution. Alors l'étape 1 c'est la solution générale. Il faut déterminer la solution de l'équation homogène associée. Bon là elle est déjà homogène. Donc on a la solution classique pour cette équation différentielle linéaire d'ordre 1. C'est A exp de moins R sur 3L T avec A qui est une constante. On peut dériver pour vérifier si on a raison. La deuxième étape c'est une solution particulière mais l'équation différentielle est déjà homogène. Donc T indique 0, ça suffit comme solution particulière. Troisième étape c'est sommer les deux solutions et trouver les constantes. Donc S de T ici égale A exp de moins R sur 3L T. Très bien, et donc pour déterminer la constante qu'on a ici on va chercher des conditions initiales. C'est la méthode vraiment classique. Alors pour chercher des conditions initiales, on essaie de retrouver ce qui s'est passé avant. Avant lors du régime permanent, qu'est-ce qui a pu arriver? L'interrupteur a été ouvert, donc qu'est-ce qu'on peut dire? A T égale 0 moins, l'origine permanente est à l'établi. Donc I1 en 0 moins est égal à I2 en 0 moins est égal à 0. Alors pourquoi est-ce qu'on peut dire ça? C'est évident que I en 0 moins valait 0, l'interrupteur a été ouvert. Très bien. Bon, ça veut dire qu'il n'y avait pas de tension ici, il n'y avait pas de tension non plus au niveau de S car il y avait un interrupteur ouvert qui récupérait toute la tension E. Donc I1 était égal à 0 puisque c'est S divisé par R sur 2. Et donc si I et I1 sont nuls, par le métaineux, I2 aussi. Donc tous les courants étaient nuls. Très bien. Mais on pourrait avoir envie de dire, bon très bien, S, on sait que c'est R sur 2 fois I1, donc on peut directement conclure S en 0 moins vaut 0. Sauf que non, ça ne suffit pas. On rappelle qu'il y a continuité, il y a seulement deux relations de continuité, c'est la continuité de la tension au bord d'un condensateur et la continuité du courant traversant une bobine. Donc à partir de là, même si on obtient le fait que la tension était nulle avant, ça ne suffit pas. Donc pour utiliser la condition de continuité, il faut aller chercher le fait que I2 en 0 moins valait 0. Donc par continuité du courant à travers une bobine, I2 en 0 moins valait 0. Très bien. Or, ça veut dire que cette branche n'était pas empruntée par le courant, donc on peut faire un circuit équivalent. Le circuit équivalent en 0 plus, c'était un générateur de tension avec la résistance ici, et maintenant il n'y a plus que cette branche-là, la deuxième était vraiment un générateur ouvert. Donc ça passe par R sur 2. Et la tension S en 0 plus, c'est la tension au bord seulement de cette résistance. Mais là tant mieux, on reconnaît un schéma très classique, c'est le diviseur de tension, qu'on a très envie d'appliquer. Donc on y va, le diviseur de tension, il nous dit que S en 0 plus, ça vaut la résistance, donc R sur 2 divisé par la somme des résistances, R sur 2 plus R fois E. Donc S en 0 plus vaut E sur 3. On a d'ailleurs montré pourquoi ce n'était pas suffisant d'avoir S en 0 au moins qui vaut 0, puisque S n'est pas continu. 0. Donc c'est bon, on a notre condition initiale, et à partir de là, on peut résoudre l'équation différentielle complètement. On reprend, S en 0 plus, si on l'évalue, on peut écrire ça S ici, ça vaut A, mais ça vaut aussi E sur 3, donc A est égal à E sur 3, et on peut conclure que S de t est égal à E sur 3 exponentielle de moins R sur 3 L fois t. Ensuite, on passe au tracé. Donc on a quelques informations à notre disposition. On part d'une tension de 0,3, et puis lorsque t est envers plus infini, la tension est envers 0. On peut aller chercher, si on veut, la tangente à l'origine qui coupe l'axe des abscisses en tau. Et voilà, plein d'informations que l'on peut déduire. Donc c'est la fin de cette étude très classique d'un circuit RL à 2 mailles, mais qu'il faut savoir refaire. Merci beaucoup d'avoir suivi la vidéo, et puis à bientôt!

Circuit RL à deux mailles

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