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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio étudie la décharge de deux condensateurs en série. Il résout une équation différentielle en utilisant la loi des mailles et la relation courant-tension du condensateur. Il détermine également la variation d'énergie du système constitué par la résistance et les condensateurs. Il démontre que l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance est égale à la valeur absolue de la variation d'énergie du système total. Enfin, il explique comment ce phénomène décrit concrètement ce qui se passe à l'intérieur d'un système électrique.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va étudier la décharge de deux condensateurs en même temps. Comme promis, un condensateur de capacité C1 est chargé avec une tension E, puis à T égal 0 et est relié par la fermeture de l'interrupteur K à un circuit R-C2 série, le condensateur de capacité C2 étant initialement déchargé. Première question, déterminer les variations du courant I2T de décharge du condensateur C1. C'est le courant qui est généré par la décharge du condensateur C1, mais il passe aussi dans ces deux. Déterminer les variations, ça nous fait directement penser à quoi? A une équation différentielle que l'on souhaite obtenir, que vérifierait le courant I2T. Cette équation différentielle sonne souvent avec la loi des mailles. Elle nous dit que U1 de T plus U2 de T est égal à R I de T, car il faut bien faire attention avec les orientations imposées par l'énoncé. Ici, on a du U1 de T qu'on ne connaît pas, du U2 de T qu'on ne connaît pas, par contre le I de T c'est bon de ce côté là. Pour relier U1 et I, on se doute qu'on va utiliser la relation courant-tension du condensateur. Sauf que c'est I de T qui est égal à C délui sur DT. Ce n'est pas exactement ce qu'on a, ce n'est pas grave. Pour se ramener à cette situation là, on va dériver cette relation, on a bien sûr le droit de le faire. C'est parti. En dérivant, on a D de U1 sur DT qui est égal à D de U2 sur DT plus R DI sur DT. Super. Maintenant, on utilise les relations courant-tension. Il faut faire attention car I de T c'est le courant qui est généré par C1. C1 est en convention générateur, donc on a bien un moins ici. Par contre, C2 reçoit le courant, donc c'est un plus. On obtient l'équation moins I sur C1 est égal à I sur C2 plus R DI sur DT. Très bien. Ça nous donne l'équation différentielle associée au courant I de T. DI sur DT est égal à 1 sur C2 R plus 1 sur C1 R I de T. C'est très bien. Le facteur qu'on a devant I ici n'est pas très sympathique. En général, on aime bien se ramener à l'expression d'un temps caractéristique. Donc on le pose. C'est bien sûr 1 sur le temps caractéristique qui est égal au facteur. On se ramène à une équation différentielle très classique d'électricité qui est régie par le courant. Pour déterminer cette variation, on va tout simplement la résoudre. C'est la méthode classique. Tout d'abord, on cherche la solution générale associée à l'équation homogène. Ici, l'équation différentielle est déjà homogène. La solution générale de cette équation, c'est bien sûr A exponentielle de moins T sur Tau avec A qui est une constante. On peut dériver pour s'en rendre compte si jamais on a un doute. Très bien. Deuxième étape, solution particulière. Elle était déjà homogène. T égal à 0 suffit. Troisième étape, on somme et on cherche les constantes. La solution, c'est A exponentielle de moins T sur Tau. Elle n'est pas totalement déterminée car il reste le facteur constant que l'on n'a pas déterminé. Pour ça, il va falloir remonter à des conditions initiales qui vont permettre de fixer ce paramètre. Alors, qu'est-ce qui s'est passé? A T égal à 0 moins, le régime permanent est établi. Mais on sait que la seule relation de continuité qu'on va pouvoir avoir dans ce circuit, ça va être lié au condensateur. On n'a que ça, la bobine n'est pas présente. Donc, on sait qu'on va devoir l'utiliser. La phrase magique, là on se fait plaisir, c'est notre moment plaisir d'exercice, on la sort par continuité de la tension aux bandes d'un condensateur. U1 en 0 plus, c'est égal à U1 en 0 moins et il était chargé avec une tension E. Donc c'est égal à E et U2 en 0 plus c'est U2 en 0 moins et donc c'est égal à 0. A partir de ces relations-là, on va pouvoir établir un schéma équivalent à 0 plus. C'est à ça que ressemblait le circuit seulement à l'instant 0 plus. Donc, équivalent à un générateur de tension E et de l'autre côté un fil de tension. Ici, on a très clairement que I en 0 plus, via la loi d'Ohm, c'est E divisé par R. Voilà, on a notre condition initiale, on n'a plus qu'à la réimplémenter dans notre équation différentielle et puis on obtient l'expression du courant I de t est égal à E sur R exponentielle de moins t sur taux. Voilà pour la première question. Et là, on part sur une étude énergétique du circuit. Deuxièmement, calculer la variation d'énergie delta E du système constituée par la résistance et les deux condensateurs C1 et C2. Donc là, on considère vraiment le système dans son entièreté. Bon, ça variation d'énergie, qu'est-ce qu'on peut dire? Déjà, avant de parler de ça, quels dipoles peuvent accumuler l'énergie? On sait que c'est le condensateur et la bobine, c'est pas la résistance. Donc, on sait qu'on va devoir s'intéresser aux deux condensateurs. Qu'est-ce qu'on peut dire? À l'instant 0+, seul C1 était chargé. Donc seul C1 avait de l'énergie en son sein. Et donc, l'énergie totale du système en 0+, c'est la relation que l'on doit connaître, c'est 1 demi de C1 E carré. Très bien. Bon, pour avoir une variation, il faut savoir ce qui se passe maintenant lorsque le régime permanent est établi. Et donc, en régime permanent, on a une relation particulière, celle-ci, entre le courant et la tension. Et vu qu'on est en régime permanent, n'importe quelle variation d'une grandeur particulière est nul. Ce qui fait que I de T, I en l'infini, vaut 0. Comme la loi d'Ohm nous l'indique, la tension en bande de la résistance était donc nulle. Ce qui nous permet d'établir ce schéma, c'est équivalent en plus l'infini, petite coquille. Donc le système est équivalent en plus l'infini à celui-ci, et donc on détermine directement qu'on avait la même tension des parts et d'autres des condensateurs. Ici, ici. Très bien. Bon, on ne la connaît pas bien cette tension. Par contre, elle va nous aider vu qu'elle détermine totalement l'énergie du système en plus l'infini. Déjà, on peut déterminer en posant habituellement une grandeur U infini. Donc U infini, ça va bien être la somme des deux énergies, et donc 1 demi de C1 plus C2, U infini au carré. Bon, très bien, mais on ne connaît pas U infini. Comment est-ce qu'on va s'en sortir? C'est en résonnant sur la charge des condensateurs. En effet, la conservation de la charge ne peut plus partir autre part. Donc, initialement, on avait toute la charge qui était répartie sur le premier condensateur. Donc, il faut connaître la formule de la charge pour un condensateur. C'était C1 fois la tension E, et à la fin, on a la somme des charges. Donc, on se revient à la même chose, C1 plus C2, U infini. Et voilà, on peut déterminer U infini. C'est C1 sur C1 plus C2 fois E. Super, du coup on a l'énergie à l'infini, et donc la variation d'énergie associée à l'ensemble du système. Bon, si on fait le calcul, on se rend compte qu'elle est négative, c'est normal, on n'a pas pu avoir gagné de l'énergie en faisant cette transaction. Mais en tout cas, sa valeur absolue, c'est 1 demi de C1 C2 E carré sur C1 plus C2. Voilà la réponse à la question. Et c'est là que ça devient intéressant, troisième question, démontrer que la valeur absolue, c'est aussi l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R. Bah oui, et où est-ce qu'elle a pu partir cette énergie? On se doute bien qu'elle a été dissipée par effet Joule à cause de cette résistance. Donc c'est parti, comment est-ce qu'on détermine l'énergie dissipée via effet Joule? Eh bien, il faut déterminer la puissance par effet Joule. C'est R fois I carré, donc à partir de l'expression de I qu'on a obtenue, c'est E carré sur R exponentielle de moins 2 T sur tau. Et donc l'énergie dissipée par effet Joule, c'est l'intégrale de 0 à plus infini de la puissance dissipée par effet Joule fois DT. Et donc en faisant le calcul intégral, on obtient E carré tau sur 2R. Or, tau, si on reprend son expression déterminée précédemment, eh bien on obtient finalement que l'énergie dissipée par effet Joule, c'est 1 demi de C1 C2 sur C1 plus C2 E carré. Et surprise, c'est exactement la valeur absolue de la variation d'énergie du système total. Donc c'est un phénomène, c'est un exercice qui traduit un phénomène très intéressant. Voilà, donc on souhaite transférer une charge totale sur un condensateur et la répartir sur deux condensateurs. Bon très bien, mais si on met une résistance en série, ça peut être par exemple une résistance interne à un condensateur ou à un générateur, eh bien ça va nous coûter une certaine quantité d'énergie. Ici en fait ça nous coûte cette quantité d'énergie qui est dissipée par effet Joule. Donc voilà, c'est un exercice vraiment intéressant qui décrit concrètement ce qui se passe à l'intérieur d'un système électrique. Je vous remercie de m'avoir suivi et puis à bientôt.

Décharge de deux condensateurs

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