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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, on étudie la modélisation d'une résistance de fuite d'un condensateur après avoir observé expérimentalement la décharge spontanée d'un condensateur de capacité 100 pF initialement chargé sous une tension de 10V. On explique que cette décharge est causée par le phénomène de fuite, où les électrons qui se trouvent sur une des plaques du condensateur peuvent passer à travers l'isolant qui sépare les deux plaques. On modélise ce phénomène en ajoutant une résistance en parallèle avec le condensateur. Pour calculer l'ordre de grandeur de la résistance de fuite, on propose un circuit comprenant un condensateur initialement chargé et une résistance de fuite en série, et on pose une équation différentielle pour la tension du condensateur en régime permanent. En résolvant cette équation différentielle et en utilisant les données expérimentales, on isole la résistance de fuite, qui est finalement égale à 0.5 MHz. Cette résistance est très importante car elle permet au condensateur de retenir les charges passées.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va étudier la modélisation d'une résistance de fuite d'un condensateur. Alors tout part d'une observation expérimentale, on démonte un circuit à un condensateur de capacité 100 pF, initialement chargé sous une tension de 10V. On le laisse poser sur la paillasse et au bout de 2 minutes, la tension au bord du condensateur ne vaut plus que 1V, donc il a été déchargé. Première question, proposer une origine à cette décharge spontanée du condensateur. Alors là c'est une démarche très classique en physique, même générale, c'est-à-dire qu'on part d'observation expérimentale et on va essayer avec nos outils, par exemple l'électronique d'Eddie Paul, de modéliser ce phénomène. C'est vraiment une démarche très intéressante, même si cette modélisation n'est pas parfaite, si elle rend compte du phénomène, elle est tout à fait intéressante. Pour répondre à cette question, il faut revenir à la nature en lui-même du condensateur. Un condensateur c'est quoi? C'est deux plaques de métal avec un isolant au milieu pour éviter que le courant ne passe. Et alors les électrons viennent s'agglutiner sur une des plaques du condensateur. Mais le problème, c'est que cet isolant qu'il y a entre les deux plaques n'est pas parfait. En fait il peut laisser passer quelques électrons et c'est ce phénomène de fuite justement qu'on essaie de modéliser. En fait les électrons qui vont sur cette plaque, il y en a quelques-uns qui vont réussir à passer et donc à conduire le courant. Justifier qualitativement qu'un condensateur se décharge spontanément peut se modéliser par l'ajout d'une résistance en parallèle d'un condensateur idéal. Cette résistance notée RF est appelée résistance de fuite ou résistance d'isolation du condensateur. Ce phénomène de fuite c'est un phénomène dissipatif donc on l'associe assez naturellement dans nos têtes à une résistance. Alors à partir de là, pourquoi une résistance en parallèle? C'est la question vu qu'il y a quand même deux possibilités de modélisation. Soit on met une résistance en série, soit on met une résistance en parallèle. Pour résoudre cet exercice, il faut se ramener à une situation de régime permanent. Si on pose ici un courant I, d'après la relation courant-tension, on a I qui est égal à C d2u sur dt. On a ça en tête sauf que lors du régime permanent, on sait qu'il n'y a aucune variation de n'importe quelle grandeur. Donc en régime permanent, on aurait I qui est égal à 0. Oui mais I égal à 0, ça voudrait dire que la résistance se comporterait si elle était en série comme un interrupteur ouvert. Ce qui empêcherait le courant de circuler dans le condensateur C. Donc en fait ça ne correspond pas à la modélisation qu'on souhaite effectuer. Alors que c'est le cas pour le deuxième schéma, il n'y a pas de soucis si la résistance se transforme en interrupteur ouvert. Donc la deuxième option va être préférée de par son intérêt pour le régime permanent. On nous demande de calculer numériquement, déjà un peu bizarre, alors qu'on n'a posé aucun calcul pour l'instant, l'ordre de grandeur de la résistance de fuite du condensateur considéré. Alors là, c'est vraiment une question type orale, je dirais, orale de concours, très peu guidée, où c'est vraiment à nous de mettre en place la démarche. Alors, pour calculer l'ordre de grandeur de la résistance de fuite, on sait qu'on va devoir modéliser un circuit. Donc, en plus avec la petite indication numérique, on se doute pas d'y avoir des exponentielles dans le lot. Donc, quand est-ce que la résistance apparaît dans des grandeurs qu'on peut modéliser, eh bien, souvent on a l'idée que pour un circuit RC série, il faut avoir en tête que le temps caractéristique d'évolution, c'est RC. Donc peut-être qu'on va faire intervenir la résistance de fuite dans ce cas-là. Alors, il faut en fait modéliser via un circuit la situation. Donc le circuit expérimental qu'on peut proposer, c'est un condensateur initialement chargé, mis en série avec cette célèbre résistance de fuite. Donc, il génère ce courant. Alors, c'est parti, on va essayer de faire apparaître ce temps caractéristique en posant une équation différentielle. Donc l'équation différentielle elle se retient via la loi des mailles. UC est égale à RFI de T, bien sûr. Or ici, I de T, attention, on est en convention générateur pour le condensateur, donc c'est moins C d2UC sur dt. Et donc on obtient l'équation différentielle vérifiée par la tension du condensateur. C'est dUC sur dt est égale à 1 sur RFCUC plus 1 sur RFCUC est égale à 0. Bon, en fait, oui, c'est l'équation d'un circuit RC série. En plus, on a cette idée ici qu'on a deux valeurs à notre disposition, 10 et 1V pour la tension au borne du condensateur. Donc il y en a une qui va sans doute servir, comme d'habitude, à déterminer la constante d'intégration, la constante issue de la résolution de l'équation différentielle, et l'autre qui va peut-être nous servir justement pour déterminer le taux. Alors, c'est parti pour la résolution de cette équation différentielle. On commence par la solution générale. Bon, vous connaissez le topo, on obtient UC qui est égale à A exponentielle de moins T sur RFC, avec A qui est égale à une constante. Ensuite, la solution particulière, bon, c'est déjà une solution homogène, donc T égale 0 vérifie l'équation différentielle. On n'a plus qu'à sommer et à déterminer A. Bon, ici c'est très simple, on sait qu'à l'instant T égale 0, le condensateur était chargé avec une tension E. Et là, on prononce notre célèbre phrase, par continuité de la tension au borne d'un condensateur, UC en 0+, c'est égal à UC en 0 moins, et c'est égal à E. Donc A est égal à E, et donc UC de T est égal à E exponentielle de moins T sur RFC. Très bien, donc maintenant, on sait qu'on a une deuxième donnée, comme on l'a vu, c'est un temps particulier au bout de 2 minutes, et bien on a une valeur de la tension. Or là, tout est déterminé, tout est donné, sauf RF. Donc on va pouvoir l'isoler et la déterminer. C'est parti. On sait que UC en T1 vaut 1V, on aurait pu mettre l'unité, pour T1 qui vaut 120s, mais on garde l'écriture littérale, c'est plus propre. Donc on remplace directement dans l'expression qu'on a obtenue, E exponentielle de moins T1 sur RFC est égal à 1. Et là c'est parti, on va juste isoler T1, donc on divise par E et on passe au log, et finalement on isole RF qui est égal à T1 divisé par CLn2E. Donc voilà, c'est l'exemple typique d'une observation expérimentale qui est modélisée avec nos connaissances théoriques. Et si on fait l'application numérique, c'est très intéressant puisqu'on observe que cette résistance de fuite est égale à 0.5MHz. Donc c'est vraiment une résistance très très importante, ce qui correspond avec quand même l'idée de base, le principe d'un condensateur. Un condensateur c'est quand même censé retenir les charges de passé, donc avoir une résistance de fuite très très grande, ça correspond à cette situation. Donc voilà, c'est la fin de cet exercice, merci beaucoup de l'avoir regardé, et puis je vous dis à bientôt!

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