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Complexes : vision algébrique

Ce cours explique les bases des nombres complexes, qui sont des nombres ayant une partie réelle et une partie imaginaire. Lorsqu'on a une équation de complexe, on peut identifier deux complexes en utilisant la partie réelle et la partie imaginaire, ce qui donne deux équations. On peut alors résoudre le système pour trouver les solutions. L'astuce est de mettre tout à gauche égal à 0 pour obtenir les deux équations.

On commence ici avec la base de la base. Un nombre complexe, c'est un nombre qui a deux éléments distincts. Une partie réelle et une partie imaginaire. C'est un nombre qui s'écrit en général Z égale 1 réel A plus I fois 1 réel B. Ici, on va utiliser une astuce ou une méthode très classique de résolution d'équations entre des complexes. On va pouvoir identifier deux complexes pour résoudre une équation. Les complexes ont deux aspects, deux dimensions. Une dimension partie réelle et une dimension partie imaginaire. Quand on aura une équation de complexe, on aura souvent une double source d'informations. Ici, on a 2X plus Y qui va être la partie réelle de tout cet élément de gauche. Et j'ai X plus Y moins 1, le nombre de fois I qui est la partie imaginaire de ce grand nombre à gauche. Une des grandes propriétés des complexes, c'est qu'il existe une unique écriture A plus I B pour un complexe donné. Ainsi, si j'ai deux complexes distincts, ils vont être égaux à la condition que la partie réelle et la partie imaginaire des deux nombres soient la même. On applique ça ici. Ici j'ai 2X plus Y, ici j'ai X plus Y moins 1. Et ici j'ai partie réelle de 0 égale à 0, plus partie imaginaire de 0 fois I. Je vais pouvoir identifier les termes de 2 à 2. Donc, ce que j'ai fait ici, 2X plus Y, 0. X plus Y moins 1, 0. Ça me fait un système de 2. Voilà, très belle illustration de cette définition très basique des complexes. L'idée c'est que souvent, vous allez avoir des équations avec des complexes et l'astuce va être de mettre tout à gauche comme ça, égal à 0, et d'identifier partie réelle égale à 0, partie imaginaire égale à 0 pour avoir deux équations. La résolution du système, je l'ai fait en 2-2. Je fais la différence de la ligne 1 avec la ligne 2. Ça me fait 2X plus Y, moins X moins Y, plus 1. Donc X plus 1 égale à 0. Donc X égale moins 1, je réinjecte dans les deux et je trouve finalement le couple de solutions. J'espère que c'était assez clair et je vous retrouve dans la prochaine vidéo. Bye, bye.

Partie réelle et imaginaire

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