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Complexes : vision algébrique

Ce cours traite des racines d'un polynôme de second degré. En mathématiques, lorsqu'on avait un polynôme ax²+bx+c, on pouvait utiliser le delta pour trouver les solutions, qui étaient soit deux valeurs réelles, une valeur réelle, ou deux valeurs imaginaires conjuguées. Cependant, si on inclut l'utilisation des nombres complexes, on peut trouver des racines imaginaires conjuguées même lorsque delta est négatif. Une démonstration rapide est présentée pour expliquer ce phénomène, suivie d'un exemple pour illustrer le concept. Mots-clés SEO: polynôme de second degré, delta, racines, nombres réels, nombres complexes.

On avait dans les nombres réels pour un polynôme ax² plus bx plus c soit delta positive strict et donc deux solutions réelles soit on trouvait qu'il y avait zéro solution réelle quand la parabole avait tendance à être comme ça ou comme ça, ne croisez pas la SDOX ou bien, cas étrange, on calculait un petit delta qui valait zéro dans ce cas on avait une seule solution réelle qui touchait la courbe ici. Ça c'est des petits rappels très rapides de secondes premières si vous voulez on vous disait vous calculez une quantité delta qui valait b²-4ac et selon le signe de ce truc là, qui était le delta, vous saviez s'il y avait des racines il se trouve, c'est un truc très important des complexes, que si on élargit notre horizon des racines potentielles de ce polynôme au monde des complexes même quand delta est négatif, on trouve des racines elles seront juste, imaginaires et en l'occurrence conjuguées donc petit exemple ici, mais avant ça, démonstration de ce fait assez rapide pour ceux que ça intéresse je reprends un peu le résultat final d'une factorisation pour les polynômes du second degré au lycée typique, en seconde première quoi donc vous avez P2x égale, on trouvait à la fin de la fin cette factorisation, A fois cette forme canonique si vous voulez à peu près, A fois x plus b sur 2a le tout carré moins delta sur 4a carré donc delta étant b carré moins 4ac, mais vu que c'est embêtant à écrire b carré moins 4ac on appelle ça delta on disait selon le signe de delta, je vais pouvoir factoriser ou pas si delta était positif, ce ne sera pas le cas ici, mais quand delta est positif je pouvais écrire tout ça comme un racine de delta sur 2a le tout au carré et j'avais une espèce de grand A carré moins grand B carré identité remarquable, ça pouvait se factoriser, c'est cool ici delta est négatif, donc c'est le cas où on disait vu que delta est négatif j'ai une somme de deux trucs positifs on l'écrivait comme ça, plus quelque chose de positif vu que delta est négatif moins delta est positif, ça c'est non factorisable on bloque, on a donc une courbe, si A est positif ici qui est au dessus de la courbe toujours positive ou en dessous de l'axe OX je veux dire, toujours négative bon, il se trouve que nous, donc si on l'écrit un peu comme ça j'ai une somme de deux carrés, la somme ici ne m'arrangeait pas nous on est dans le monde des complexes maintenant, dans le monde des complexes à savoir par cœur très important, on a la propriété suivante pour Aib2réel, A carré plus B carré égale A plus Ib fois A moins Ib c'est factorisable, et donc à fortiori j'ai donc A carré plus B carré égale 0 qui va me donner soit A plus Ib égale 0, soit A moins Ib égale 0 c'est très bien, quand je l'applique ici, enfin pas ici mais à la démonstration j'obtiens, donc j'appelle Z les X solutions, parce qu'il est complexe Z1 égale, on répatouille tout, on dit que X plus B sur 2A c'est égal à Ib ou moins Ib et on obtient X égale moins B sur 2A plus I fois racine de moins delta sur 2A ou moins I de racine de moins delta sur 2A qui est d'ailleurs le conjugué de celui-là, démonstration assez simple qu'est-ce que je fais ensuite, petit exemple pour vous montrer je calcule d'abord le delta, si il est positif on se prend pas la tête delta ça fait moins 3 au carré moins 4 fois 5 fois 2, c'est 4 fois 5 fois 2, ok égale moins 31, négatif, moins 31 que je peux écrire I racine de 31 le tout au carré parce que I carré vaut moins 1, on met ça sous le formulaire comme un carré parfait et j'obtiens tout de suite Z1 égale, j'applique la formule ci dessus 3 plus I racine de 31 sur 10 ou 3 moins I racine de 31 sur 10 y'a peu à réfléchir honnêtement, mais voilà je voulais vous faire une petite démonstration rapide en partant en vous rappelant ce fait sur les complexes qui est très très important et je vous retrouve si vous avez pas de questions en tout cas si vous en avez posé dans les commentaires et je pourrais peut-être détailler plus s'il y a besoin je vous retrouve sinon pour une prochaine vidéo

Second degré Δ<0

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