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Complexes : vision algébrique

Le cours parle du conjugué d'un nombre complexe, qui est défini comme la quantité a moins ib. Il explique que le conjugué a des propriétés simples, telles que la conjuguaison de la somme étant la somme des conjugués et la conjuguaison du produit étant le produit des conjugués. Ensuite, le cours montre comment résoudre une équation complexe en introduisant des variables a et b pour séparer les parties réelles et imaginaires, en utilisant la méthode basique. Le cours recommande l'utilisation de cette méthode pour résoudre ce type d'équations, en l'absence d'astuces plus avancées. Le cours se termine en invitant les étudiants à poser des questions et en leur disant au revoir.

Petite méthode très classique, très simple, mais qui me permet d'introduire un petit rappel aussi sur ce que c'est le conjugué. Je vous le mets à la fin ici. Petite définition, quand on a z égale a plus ib à un complexe, on appelle z bar, et on appelle ça son conjugué, la quantité a moins ib. C'est l'espèce de quantité qu'on utilise pour les méthodes de quantité conjuguée notamment. Il y a des propriétés très simples pour ce complexe, pour cette opération de conjugaison, c'est de dire que le conjugué de z plus z prime c'est le conjugué de z plus le conjugué de z prime, donc maintenant je vais le dire avec bar, z plus z prime bar c'est z bar plus z prime bar, très facile à démontrer, c'est automatique. Un peu plus long à démontrer, mais ça se fait aussi le produit. z z prime bar c'est z bar fois z prime bar, et le quotient. En fait vous avez un peu tout ce que vous voulez, et tout est assez simple à démontrer. Donc ça c'est ce qu'on appelle le conjugué, je vous l'ai montré ici, on en parlera un peu plus quand on fera le lien avec les complexes et la géométrie. Ici je vais vous montrer cette petite équation, on vous dit résoudre pour z, donc il faut qu'on trouve en gros partie réelle et partie imaginaire. Première remarque, vu qu'on a une quantité différente de z et de z bar, je ne vais pas pouvoir jouer avec certaines propriétés, ça c'est pour ceux qui sont peut-être plus avancés, du type utiliser z plus z bar et z moins z bar. Vu qu'en gros on a juste 2z et 5z bar qui sont des quantités différentes de z et de z bar, il n'y a qu'une méthode qui est la méthode simple et bourrine, c'est à dire introduire a et b tel que z égale a plus ib. Quand je fais ça qu'est-ce que j'écris? 2z plus 5i égale 5z bar moins 3, 2 fois a plus ib plus 5i égale 5 fois a moins ib moins 3. Je fais quelques calculs. Méthode de base, j'identifie ici les parties réelles et les parties imaginaires, ça me donne ce petit système. J'ai plus qu'à résoudre pour a, pour b, je trouve ma solution. Voilà, c'était plus une remarque sur... Il y aurait des astuces, peut-être des astuces dont on parlera plus tard dans le cours sur les complexes, mais si vous l'avez déjà vu, utilisons ça. Elles n'interviennent pas ici. Pour ceux qui ne savent pas de quoi je parle, dites-vous juste que en gros quand il y a ce genre d'équation c'est très bien et très valide de faire la méthode basique, d'introduire a plus ib. Voilà, je vous retrouve dans la prochaine vidéo, posez vos questions si besoin. Bye bye.

Rappel : le conjugué

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