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Complexes : vision géométrique

Ce cours explique comment la représentation complexe peut être utilisée pour trouver des équations de cercles dans le plan. Un point peut être vu comme une intersection d'une abscisse et d'une ordonnée, mais il peut également être défini par sa distance à l'origine et son angle avec l'axe des abscisses. Pour définir un cercle, il faut que tous les points soient équidistants d'un point fixe. En utilisant la représentation complexe, cette distance peut être traduite en norme de la différence entre deux nombres complexes. Si une équation contient l'expression de la norme d'un nombre complexe égale à un nombre constant, alors cela peut être interprété comme une équation de cercle de centre et de rayon déterminés par les parties réelles et imaginaires du nombre complexe.

Comme on a vu précédemment, on peut voir un point M dans le plan comme l'intersection d'une abscisse, que j'appellerai ici a, et d'une ordonnée. Une autre manière de voir ce point M, c'est de dire qu'il est défini à la fois par sa distance à l'origine, qui serait donc la norme du vecteur OM que j'ai tracé ici, et son angle avec l'axe des abscisses. Pourquoi? Parce qu'en fait, une distance à l'origine n'est pas suffisante. Il y a une infinité de points qui ont la même distance à l'origine, et ces points en fait sont sur un cercle. C'est le principe d'un cercle. C'est l'ensemble des points à une distance égale d'un autre point. Donc en fait, si je mélange ces deux éléments, donc être à une certaine distance de l'origine, plus être à un certain angle de l'axe OX, j'ai un point unique. Et on a vu qu'on traduit ça en complexe par, non pas la norme du vecteur OM, mais le module de Z, et l'angle dont on parlait, entre l'axe OX et le vecteur OM, on appelle ça l'argument de Z. Son définition à connaître. Autre propriété qui en découle, la distance AB, c'est la norme du vecteur AB, or le vecteur AB, on a vu qu'on pouvait lui associer une affixe unique qui s'écrivait ZB-ZA. C'est donc le module de ZB-ZA qui est égal à la distance AB. Il faut absolument savoir reconnaître des équations où on a une médiatrice, il faut aussi, ça c'était la vidéo précédente, savoir reconnaître quand on parle d'un cercle. Je vais vous définir un cercle comme on le fait normalement en première, un petit rappel. Un cercle, en première, peut-être dans le chapitre du produit scalaire, on vous dit, un point M appartient au cercle de centre OM et de rayon R positive strict, si et seulement si, un peu ce que je vous ai fait il y a 30 secondes, la distance entre le centre et le point M est une constante. On dit bien, l'ensemble des points qui sont équidistant et qui sont la distance constante de grand-oméga, ce sont les points de ce cercle. Parce que si je les trace tous, vous avez compris le délire, je ne vais pas tous les faire, je me rends compte qu'en fait j'ai un cercle. C'est ça la définition qu'on prend dans la première, c'est même la seule définition mathématique d'un cercle. C'est l'ensemble des points équidistant d'un point fixé. Ensuite, ça c'est très facile quand vous connaissez et maîtrisez ça, au pire petit rappel, c'est très facile de faire le saut vers le monde des complexes, sachant que grand-oméga M c'est une distance. Je peux traduire ça en nom complexe comme module de petit z lafix du point M moins petit oméga lafix du point grand-oméga. Je dis, c'est simple, c'est quand j'ai z moins une autre lafix égale R nom positif. L'exercice pour vous, souvent complexe, ça va être, on va vous donner une équation, il va falloir comprendre qu'on est dans le cadre d'une équation comme celle-ci, et conclure que le point M appartient à un cercle. Votre travail, ça va souvent être un peu comme ce qu'on a fait dans la vidéo précédente, de la réécriture pour se rendre compte qu'on a cette forme et conclure. Qu'est-ce qu'on a ici? Exemple tout de suite pour illustrer ce point de cours. On vous donne un module de z plus d'autres trucs égale 4. Première chose à vérifier, est-ce qu'on a bien un nom positif? Il y a des petits exos piégeux, je vous le dis comme ça, qui vont mettre un module égal à moins 4, quels sont les M qui vérifient ça? En fait, c'est un piège pour voir si vous suivez. Vous devez dire que un module c'est une distance, donc c'est mort, ce n'est pas négatif. Il n'y a aucun point qui vérifie ça. Là, on est content, on a un 4. Le 4 va pouvoir jouer le rôle de grand R. Il faut juste ensuite bien comprendre que ça, ça peut s'écrire comme un genre de z-zA. Premier truc qu'on fait, comme on a vu pour la vidéo sur les miniaturistes, on réécrit la formule donnée du module en forçant un z-. Là, j'ai deux plus, c'est un peu malheureux, donc ça peut faire plein de moins, mais ce n'est pas grave. Ça vaut z- exactement ce nombre complexe. Je pose un nombre complexe au hasard grand Omega d'afix-z-2i. Je me rends compte que la condition a-4 de l'exercice devient z-omega-4. Et ça, je me suis bien rapporté à la définition qu'on a vue ici, qui est de tenir d'une ligne. Quand on me donne ça, je dois me dire, attention, il y a un nom positif à droite, c'est sûr qu'à gauche, je vais pouvoir faire apparaître un centre. C'est bon, j'aurai un cercle. Je peux conclure que j'ai ça, et je peux dire que M appartient bien au cercle de centre grand Omega-7-2, parce que son afix est-7-2i, et de rayon 4. J'espère que c'était clair, posez vos questions s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

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