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Complexes : vision géométrique

Le cours explique comment trouver la forme exponentielle de 2-2i en suivant une méthode classique de calcul, en factorisant Z et en trouvant son module. Le résultat est ensuite simplifié en utilisant les formules de trigonométrie pour identifier cosθ et isinθ. Finalement, la réponse est obtenue sous la forme exponentielle iθ. Une méthode plus astucieuse sera expliquée dans la vidéo suivante.

Donc maintenant, application directe, la vidéo va être un petit peu longue. On vous dit de trouver la forme exponentielle de 2-2i. Méthode classique, trouver Z, puis factoriser pour faire apparaître cosθ plus i sinθ. Trouver le module de Z, c'est parti! Le module de Z c'est √a2 plus b2, alors √2² plus (-2²), il y a 2√2 quand on simplifie. Donc qu'est-ce que je fais? Deuxième étape, je factorise mon nombre 2-2i de force par 2√2. J'ai 2-2i que je factorise de force par 2√2, ça me fait apparaître 1 sur √2 pour compenser, moins i fois 1 sur √2. J'aime pas les racines au dénominateur, donc je multiplie en haut et en bas par √2, j'obtiens ça. Là, rappel, je reconnais quelque chose de très classique. √2 sur 2 moins i√2 sur 2, est-ce que ça se répare de cette forme-là? Si c'est de cette forme-là, est-ce que √2 sur 2 n'est pas un angle classique? Ben si. En fait, comme on a cette table bien connue des valeurs de sinus-cosinus des angles classiques, je reconnais qu'on a du π sur 4 qui est ici qui est impliqué. Faisons attention, si n'est cos de π sur 4 c'est plus √2, j'ai un sin moins ici. Petit cercle trigo, est-ce qu'il n'y a pas un point où je me rends compte qu'en fait j'ai le cosinus, celui-ci qui vaudrait √2 sur 2, et le sinus, parce que je veux identifier cosθ et isinθ, qui vaut moins √2 sur 2? Ben si, j'ai celui-ci. C'est non pas π sur 4 mais moins π sur 4. Et donc je me rends compte avec cette formule que ça, je peux le transformer en cos moins π sur 4, sin moins π sur 4 avec un plus ici. J'ai donc bien ma formule cosθ plus isinθ. Ça, c'est exponentiel iθ. Voilà comment on le fait. Je vous retrouve dans la vidéo d'après pour une méthode beaucoup plus astucieuse. Voici la méthode de cours à connaître. Je vous refais le même exo en méthode astucieuse dans la vidéo suivante qui sera plus courte. A tout de suite.

Forme expo 1 : méthode type

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