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Complexes : vision géométrique

Dans cette vidéo, l'enseignant donne une méthode astucieuse pour résoudre les exercices de complexes en passant à travers les mailles du système. Il conseille d'apprendre les nombres complexes classiques, tels que π sur 6, π sur 4, π sur 3, en forme algébrique et en forme trigonométrique exponentielle dans les deux sens pour gagner du temps. Il montre ensuite comment utiliser cette méthode pour résoudre un exercice en reconnaissant que 2 - 2i est égal à 2 fois 1 - i et que 1 - i a une forme complexe connue. Enfin, il encourage les élèves à pratiquer la méthode classique au début, mais à passer rapidement aux astuces pour gagner du temps.

Dans la vidéo précédente, je vous ai quitté sur cet exercice où je vous montrais comment le résoudre avec une méthode très classique. 1. Toujours appliquer la même méthode. On calcule le module de l'élément, du complexe. 2. On factorise le nombre par ce module pour trouver la forme cosθ plus sinθ. Ça donnait tout ce travail. Petit rappel sur les cosinus et sinus classiques à connaître. Et on retrouvait à la fin un angle ici parfait qui donnait ce truc là. Méthode astucieuse maintenant. Méthode astucieuse c'est... en fait j'utilise un peu... Comment dire... de passer un peu à travers les mailles du système. Je vous le dis comme ça. 80 à 90% des exos de complexe en lycée et même franchement des fois en maths sup, en terminale, utilisent le même type d'angle toujours très classique. C'est-à-dire ces valeurs-là, π sur 6, π sur 4, π sur 3. Avoir un π sur 17 si vous voulez, c'est très rare. Donc ce qui peut être astucieux de connaître, ce sont ces différents nombres. Moi je vous conseille, je vais mettre un petit hop, par cœur. Ce que je vous conseille c'est d'apprendre ça par cœur. Ces nombres complexes, les connaître en forme algébrique et en forme trigonométrique exponentielle très rapidement dans les deux sens, ça va vous aider à fond. Ils tombent tout le temps dans tous les exos. Un plus i, par exemple si je vous dessine un petit plan, on sait que c'est le point d'abcisse 1 et d'ordonnée 1. Ça on sait que l'angle c'est π sur 4. Un plus i peut donc s'écrire, quand on factorise par racine de 2, on retrouve que un plus i très rapidement c'est racine de 2 fois eipi sur 4. 1 demi plus i racine de 3 sur 2, qu'est-ce que j'ai fait? J'ai pas fait le fou, j'ai pris ses cos plus i sinθ, j'ai pris 1 demi plus i racine de 3 sur 2, hop, je retiens, j'ai fait un truc extrêmement faux ici, je retiens donc que c'est e de ipi sur 3. Je ne sais pas pourquoi j'ai mis 2 fois eipi sur 6. J'apprends par cœur que si je le rencontre un jour, c'est en fait e de ipi sur 3, pas besoin de réfléchir 3 plombs, en gros vous le connaissez, ça va vous faire gagner beaucoup de temps. Et ensuite le dernier, racine de 3 sur 2 pour le cosinus plus i fois 1 demi, ça tout de suite on pourra dire que c'est eipi sur 6. Donc les connaître par cœur, super pratique. Donc sous la forme un plus i, carrément un plus i, il tombe tout le temps, un moins i on le voit partout, boum, vous balancez ça. Et ça des fois, ça veut dire que vous serez à l'aise si vous voyez un plus i racine de 3 pour comprendre que c'est lié à ça fois 2. Donc l'idée c'est que vous ayez tellement appris ça bien que si je vous montre un plus i racine de 3, paf, vous êtes capable de me dire que c'est deux fois e de ipi sur 3. C'est le but pour moi. Si vous savez faire ça vite, c'est une petite astuce, un petit hack du système si vous voulez, pour résoudre beaucoup beaucoup d'exos qui utilisent toujours ces nombres là. Je les vois partout. Ou avec la version conjuguée si vous voulez, avec un moins ou un moins ou un moins. Donc ici comment on ferait? Typiquement, sachant tout ça, je ne vais pas refaire la méthode classique qui est trouver z module puis faire ça. Non, je connais tout ça assez maîtrisé. Donc disons que là vous l'avez bien appris. Qu'est-ce que je fais? Je reconnecte 2 moins 2i, c'est deux fois 1 moins i. Parfait, 1 moins i je connais. C'est ce truc là exactement, mais avec un moins ipi sur 4 parce que c'est le conjugué. Donc tout de suite ça fait deux fois racine de 2 e de moins ipi sur 4. Boum, une demi-seconde. Alors ça demande un investissement. L'investissement c'est d'apprendre bien ces trucs là, ces formules et de savoir les reconnaître. Mais une fois que vous l'avez appris, ça va super vite. Alors que là on a quand même pas mal galéré à chaque fois. Enfin, c'est un peu plus long si vous le faites dans les formes. Donc au début je pense que votre prof va vouloir que vous expliquez la méthode. Donc vous faites bien la méthode classique, je calcule z module et ensuite je fais la factorisation. Mais assez vite, dès qu'on n'est plus dans les premières séances ou les premiers contrôles, vous pouvez balancer des trucs comme ça. Vous allez gagner max max temps. Voilà, j'espère que c'était clair et que ça va vous aider. Je vous retrouve dans une prochaine vidéo, posez des questions si besoin. À tout!

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