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Complexes : vision géométrique

Dans ce cours, nous explorons l'utilisation des propriétés complexes pour faire de la trigonométrie poussée. Nous cherchons à exprimer cos(pi/12) sous deux formes distinctes : une forme algébrique et une forme exponentielle utilisant la fonction exponentielle. Pour ce faire, nous utilisons des valeurs d'angle connues, telles que pi/2, pi/3, pi/4 et pi/6, afin de réécrire pi/12 en termes de tiers et quarts ou sixièmes. Nous jouons ensuite sur les propriétés de multiplication de la fonction exponentielle pour simplifier l'expression de cos(pi/12) avec des nombres réels qui composent la partie réelle et imaginaire. En isolant la partie réelle et imaginaire, nous obtenons deux résultats pour le prix d'un, le cos et le sin et pouvons identifier l'expression algébrique : cos(pi/12) = racine(2) x (1 + racine(3)/4), qui peut également être exprimée sous la forme racine(2) x (1 + racine(6)/4).

On arrive ici dans des exercices un petit peu plus compliqués mais super intéressants parce qu'en fait c'est un petit peu ça en partie l'utilité des complexes. On va pouvoir utiliser les propriétés qu'on a sur les complexes pour faire de la trigo un peu poussée. Donc on va regarder, c'est assez classique. Ce qui est difficile, ce qui fait que j'appellerais ça une méthode assez difficile, c'est le fait que en fait il faut un petit peu d'indépendance quand c'est posé comme ça. Souvent vous le verrez ce truc là en terminal un petit peu décomposé en plusieurs questions. Donc ici on va essayer de se débrouiller tout seul. Je vous fais un peu, c'est un petit peu une intro à comment ça se passe potentiellement dans le supérieur quand il y a des mathématiques. Que ce soit en prépa ou en fac de science peut-être, on prépa éco, prépa bio, prépa ingé. Comment on utilise C? On va jouer sur le parallélisme forme algébrique, forme exponentielle. On va essayer d'exprimer cos pi sur 12 dans deux expressions distinctes qu'on va savoir être égales. Donc une expression algébrique, une expression exponentielle. Moi je sais tout de suite, j'ai pi sur 12 ici donc je l'utilise, que E de i pi sur 12 c'est cos pi sur 12 plus i sin pi sur 12. Mais si seulement j'arrive à réécrire ce chiffre là, ce nombre là, ce nombre complexe là, E de i pi sur 12 autrement, si j'arrive à utiliser une forme potentiellement algébrique, alors je pourrais dire dans la forme algébrique A plus i B que je pourrais découvrir que A ce sera cos pi sur 12. L'idée ça va être de trouver, je disais A plus i B, c'est parti en dehors de ma feuille, A plus i B ce sera donc le but de l'exercice. Comment je vais faire ça? Il faut que je joue sur le fait que pi sur 12 c'est potentiellement reliable à des valeurs connues d'angle, du genre pi sur 2, très simple, pi sur 3, pi sur 4, pi sur 6. On va essayer de faire ça et de jouer ensuite sur les propriétés de l'exponential. Comment on fait ça? On remarque que 1 douzième c'est 1 quart, pardon, 1 tiers moins 1 quart. Et c'est cette remarque là qui débloque l'exercice. Donc retenez ça, l'idée c'est que quand on est exprimé, d'un côté on sait qu'on a ça dans un coin de notre tête, on va exprimer ce truc là autrement, on va essayer de jouer sur les angles connus et donc on va essayer d'exprimer le douzième en fonction de tiers et de quarts ou de sixièmes par exemple. Pourquoi je veux absolument une différence? Parce qu'en fait je veux jouer là dessus. Je veux jouer sur les propriétés de multiplication de l'exponential. Je veux pouvoir dire que E2i pi sur 12 c'est bien E2i pi sur 3 moins pi sur 4 et donc c'est égal à E2i pi sur 3 fois E2 moins pi sur 4. Pratique, parce que ça je peux exprimer facilement et ça aussi, facilement de manière algébrique. Celui-ci en forme a plus ib c'est très facile parce que je connais le cos et le sin de pi sur 3, de la même manière. Celui-ci en a plus ib c'est très pratique parce que je connais le cos et le sin de moins pi sur 4. Et donc c'est ce que je fais dans les thèmes d'après. J'écris ça tout de suite, E2i pi sur 3, boum, on le connaît par cœur, E2 moins pi sur 4, on le connaît par cœur, c'est le conjugué de E2 pi sur 4 si vous voulez. Et donc j'ai ma multiplication ici. Et donc je suis très content parce que d'un côté j'ai toujours ça en tête, qui reste là et je sais que c'est ça, je vais identifier à ça tout à l'heure. Et là j'ai toujours E2i pi sur 12 mais écrit avec des trucs genre des demi, des racines, exactement ce que je veux. Des nombres réels qui vont composer la partie réelle et la partie imaginaire. Je vais au bout du calcul, j'avance un petit peu, je mets un 2 en facteur, un demi, machin machin, je m'en sors, j'isole la partie réelle, la partie imaginaire, et je peux identifier avec étoiles. Je dis que d'un côté la partie réelle c'est ça, la partie imaginaire c'est ça, j'ai deux résultats pour le prix d'un, le cos et le sin, et j'obtiens, en identifiant donc, ça égale le cos pi sur 12, racine de 2 fois 1 fois pi sur 12, égale le cos pi sur 12, racine de 2 fois 1 plus racine de 3 sur 4, et de même ça fois racine de 2 sur 4. Vous verrez la formule des fois avec racine de 2 plus racine de 6 sur 4 pour la valeur de ce cos, c'est juste qu'on peut développer racine de 2 ici, ce qui fera racine de 2 plus racine de 6. Donc voilà, résultat très classique, pas trop compliqué en soi, mais la démarche c'est le plus important. On écrit le même nombre de deux manières différentes, algébrique et exponentielle. Posez des questions s'il y a besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Classique : trouver un cos

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