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Complexes : vision géométrique

This course teaches a method of factorizing and simplifying equations to make them easier to solve. The example given involves finding the exponential form of two complex numbers. The key is to factorize the equation by half angle to make it simpler, and then combine it with the formula for sum and difference. The resulting formula may or may not be in exponential form, depending on the sign of the cosine or sine. The course emphasizes the importance of understanding the formulas and being able to apply them to solve problems.

Une méthode ultra classique, en fait ici je vais vous faire un petit cours un peu du supérieur parce que je pense pas que l'exo le but de l'exercice c'est pas de vous le faire trouver, enfin on peut essayer je pense que c'est plus intéressant de vous introduire la méthode l'idée c'est pas de se martyriser en mode j'ai pas trouvé c'est plus d'accepter que ça existe et à terme en fait vous vous rendre compte de ce que c'est le genre de raisonnement qu'on va demander dans le supérieur c'est à dire il faudra connaître ce genre de petites astuces de petites formules et savoir les réutiliser pour vous débloquer dans des exos. Bon je vous explique je vais vous raconter des trucs on a z et z prime qui sont deux nombres de module 1 donc qui s'écrivent sous la forme e de i theta et on vous dit trouver une forme exponentielle de z plus z prime et z moins z prime ça c'est un peu vous dire en gros factoriser moi tout ça là je vais avoir e de i pi sur 6 plus e de i pi sur 4 on n'aime pas avoir un truc plus machin on n'aime pas ça de la même manière qu'on n'aime pas avoir x2 plus 3x plus 5 et on vous dit ça il forme canonique x plus 3 demi le tout au carré plus je sais pas quoi on aime bien avoir du x à un seul endroit on aime bien factoriser les choses pourquoi est ce que derrière souvent vous allez pouvoir résoudre une équation débloquer un problème on aime bien faire ça là il y a une astuce une manière de faire dont je vous fais le cours carrément de la formule qu'on voit en général dans le supérieur voilà l'idée c'est de factoriser l'idée c'est de faire apparaître dans la formule un nombre et son conjugué pour avoir une expression un peu simple donc pourquoi pour se baser là dessus si j'ai un nombre et son conjugué en somme par exemple j'ai la formule z plus z bar égale 2 parties réelles de z qui s'applique donc là je l'applique avec ces trucs là c'est pas ça bon je vais combiner ça avec donc une factorisation par l'angle moitié l'angle moitié c'est quoi c'est ni alpha ni bêta c'est bien alpha plus bêta sur 2 le genre de milieu entre alpha et bêta quand je factorise qu'est ce que je fais apparaître ici pour avoir alpha il me faut j'ai du alpha sur 2 là dedans il me faut encore du alpha sur 2 pour faire du alpha j'ai du bêta sur 2 je n'en veux pas je veux pas de bêta sur 2 donc je fais du moins bêta sur 2 ici exactement de la même manière j'ai du alpha je n'en veux pas ici je fais donc moins et alpha sur 2 j'ai du bêta sur 2 il me manque un petit peu pour faire ce terme là de bêta je rajoute du moins moins du plus bêta sur 2 et moi je l'ai écrit en moins pourquoi pour me rendre compte que j'ai le même angle alpha moins bêta sur 2 avec un plus et un moins donc j'ai un z et un z bar je combine cette intelligente factorisation par l'angle moitié qui est une astuce à connaître encore une fois comprenez la bien posez moi des questions s'il y a besoin bien sûr retenez et ensuite vous pourrez utiliser bon vous allez me dire peut-être qu'en terminale c'est pas le plus utile mais ce sera utile dans le genre c'est un peu ce que ce que je vous dis souvent ça sera utile pour le dernier exo pour discriminer entre celui qui a là on est au niveau on discrimine entre celui qui a 17 et 20 quoi le dernier exo de votre ds en terminale il y aura peut-être besoin de cette astuce qui est des fois présentée dans les bouquins de maths donc voilà donc ça vous donne ça vous vous rendez compte que ça c'est du z plus z bar sous cette forme là donc c'est à dire un nombre plus son conjugué mais pour un nombre de modules 1 ça fait donc deux causes theta donc je remplace cette chose là par deux causes l'angle un peu moche alpha moins bêta sur 2 et donc j'ai la somme qui vaut deux causes alpha moins bêta sur 2 fois exponentielle de i alpha plus bêta sur 2 qui est ici est ce que j'ai trouvé la forme exponentielle Oui et non il faut pas se tromper donc j'ai la même chose ici avec je pourrais aussi faire la même chose pour la différence pour la différence donc je n'ai pas rédigé complètement mais la différence vous faites la même chose et vous obtenez ici un moins sauf que vous avez e de i theta moins e de moins i theta donc normalement je l'ai vous avez appris ça c'est pas ici que je vais vous l'apprendre qui vaut 2i sin theta en gros l'idée c'est z moins z bar sur 2i égal im de z c'est cette formule là appliqué à e de i theta donc quand je l'applique j'ai un 2i ici puis j'ai le sinus puis la même chose très bien est ce que la question piège est ce que j'ai ici la forme exponentielle et bien pas exactement on pourrait croire qu'on a la forme exponentielle vu qu'on a une exponentielle ici et un module ici et quel est le truc j'ai même fait une petite vidéo petite vidéo erreur à éviter quel est le truc auquel il faut penser il faut penser à la positivité de cette chose là donc réfléchissez-y selon la valeur des angles que vous aurez selon la valeur des angles vous allez avoir deux causes alpha moins bêta sur 2 qui sera positif mais qui des fois sera négatif donc le module de ça c'est la valeur absolue de deux causes alpha moins bêta sur 2 et donc l'argument de ce nombre c'est soit alpha plus bêta sur 2 si ça c'est bien positif mais si c'est négatif qu'est ce qu'il faut faire? multiplié par e2i pi et donc on aura un angle un argument pi plus alpha plus bêta sur 2 de la même manière ici module 2 sinus alpha moins bêta sur 2 si et seulement si sinus alpha moins bêta sur 2 est positif s'il est négatif il faudra mettre un sin moins en tout cas mettre un petit module ici et faire dégager ça quel est ensuite l'argument? il ne faut pas oublier qu'il y a alpha plus bêta sur 2 ici oui fois i, i c'est e de i pi sur 2 donc il faut rajouter pi sur 2 fois potentiellement pi enfin e de i pi si ça est négatif donc attention vraiment attention à bien faire gaffe à la valeur du sin de ce truc là la formule que je vous donne moi à peu de cours c'est la somme de deux exponentielles est ce que c'est la forme exponentielle uniquement si on est bien sûr que le module est positif voilà pour les deux donc je vous l'ai mis comme ça c'est un peu la nuance donc pour répondre à la question il faudrait dire selon le signe on aura ceci cela sachant moi je vous fais le cours là donc je fais le cours général donc ce qu'il faut connaître par coeur c'est ça ce sont des formules de somme et différence ce ne sont pas nécessairement ces choses là en tout cas les formes exponentielles voilà j'ai bien insisté qu'à partir du classique de ces formules qui est très intéressant à connaître bah quand bêta va au zéro ça tombe tout le temps cette formule donc ça fait un truc assez joli de la même manière ce n'est pas spécialement la forme exponentielle ça dépend du signe de cosθ sur 2 et enfin pour l'exercice présenté vous avez qu'à prendre la formule et à l'appliquer avec pi sur 6 et pi sur 4 vous l'appliquez vous voyez ce que ça donne et je vous laisse travailler poser des questions s'il y a besoin essayez de le faire vous même moi je vais vous faire ce petit cours sur cette très belle et très pratique formule à bientôt poser des questions et je vous retrouve dans une prochaine vidéo bye bye

Astuce : angle moitié

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