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Complexes : vision géométrique

Dans cette vidéo, le professeur explique comment trouver la valeur cos3θ en fonction de cosθ et cos3θ. Il utilise la formule de Moivre (E2iθ³ = cosθ + isinθ)^3 pour trouver cos3θ. En séparant la partie réelle et en utilisant le binôme de Newton, il trouve que cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ. Il souligne l'importance d'identifier les différentes expressions et d'utiliser les propriétés algébriques et exponentielles pour trouver des formules utiles.

Du très très très classique encore, on va faire un petit peu de trigo grâce au complexe. On vous dit, trouvez-moi cos3 en fonction uniquement de cosθ, cos3 de θ donc, en fonction de cosθ et en fonction de cos3θ. On va toujours jouer sur un peu le même facteur, la même astuce que je vous ai présentée dans une méthode difficile précédente, c'est qu'on va jouer sur le fait qu'il y a deux écritures possibles pour la même chose, et ensuite on va identifier ces deux écritures pour espérer trouver une relation entre les choses qu'on nous propose. Donc, premier truc que je fais, vu que je vois du cos3θ et je vois du cos3θ, je comprends que je vais jouer sur E3iθ, c'est-à-dire E2iθ³. Donc E2iθ³, c'est très simple. En fait, ça on appellera ça la... Ce que je vais vous faire en fait, c'est... Cette formule-là, on appelle ça la formule de Moivre. Je ne sais pas si tous les profs donnent le nom, donc je ne vais pas l'écrire non plus, mais je vous le dis comme ça. Donc c'est Moivre, au cas où. Moivre comme ça. Je ne sais pas si tous les profs la nomment, donc je fais attention, mais... Voilà, E2iθ³, c'est cosθ plus isinθ, le tout au cube par définition. E2iθ³, par propriété de l'exponential complexe, nous donne cos3θ plus isin3θ. Je sens venir la solution. Ici, j'ai ma partie réelle qui vaut exactement cos3θ. Ça m'arrange, moi j'ai une relation entre lui, lui et lui. Ça ne m'intéresse pas trop le sine, donc je ne vais pas m'occuper de la partie imaginaire. Mais je sais que ce truc-là a la même partie réelle que celui-ci. J'espère donc que ce machin-là aura une partie réelle intéressante qui s'exprimera en fonction des deux autres termes qui m'intéressent. Comment faire? Ici, je vois que j'ai A plus B au cube. A plus B au cube, c'est le binôme de Newton, ou bien tout bêtement, c'est A plus B au cube connu par cœur. Soit vous réappliquez dans votre tête le binôme de Newton, soit vous avez fini par apprendre la formule A plus B au cube. Je vous conseille, honnêtement, c'est A cube plus 3A²B plus 3AB² plus B cube à force de l'utiliser, ça revient. Sinon vous la retrouvez avec Newton. Donc, je développe la numéro 1 et j'identifie la 2. Je fais exactement la formule que je viens de vous montrer. Là, je le fais étape par étape. A au cube plus 3A² plus I sinθ plus 3cos² plus I sinθ² plus I cube sinθ. On ne se trompe pas, I²-1, I cube-I. Donc, ces 2 termes-là seront parties réelles. Ces 2 termes-là auront encore du I et vont faire le côté imaginaire. Je sépare bien. Ce truc-là devient moins 3cosθ sin² et ce truc-là devient moins I sinθ. Je mets ensemble les jaunes, je mets ensemble les verts. Je peux obtenir maintenant une identification entre ma partie réelle qui est ici et ça. Je peux déjà dire cos3θ égale cette chose-là. Moi, je veux cos3θ, donc je peux dire cos3θ égale cos3θ plus ce machin-là. Je suis un peu embêté parce qu'il y a encore du sinus. Moi, j'ai une expression où il n'y a pas de sinus. Il faut donc que je me débarrasse du sin²θ et que je trouve une manière pour ce sin²θ d'apporter du cos. Normalement, c'est assez simple. C'est la formule fondamentale de la trigonométrie. cos² plus sin² égale 1. J'y vais. J'ai donc cos3θ égale tout ça. Très bien. Je remplace sin²θ par 1-cos²θ, exactement comme je viens de vous le dire. On met ça là-dedans. Je fais le calcul. Là, je détaille bien histoire de bien être clair. Qu'est-ce qu'on obtient? Une formule assez complète, au final un peu complexe, mais assez complète. Très, très classique dans le supérieur, cette formule. On finit par la connaître par cœur, honnêtement. cos3θ égale 4cos3θ moins 3cos2θ. J'obtiens cos3θ sous la forme d'un polynôme en cosθ. Comme la question me demande spécifiquement d'isoler cos3θ, je fais un petit renversement des termes ici, et j'obtiens cos3θ égale, en mettant de l'autre côté et en divisant par 4, cette formule-là. Retenez encore ce principe unique, vraiment très, très pratique et très courant. Deux écritures, on identifie. Soit exponentielle et algébrique, soit utiliser la trigonométrique ici. Bon non, en fait c'est ça, c'est algébrique et exponentielle en fait, un peu tout le temps. La trigo qui devient algébrique, et l'exponentielle. Ça, c'est souvent une source d'écriture, de calcul pour par exemple cospi sur 2 dans une autre vidéo, ou bien de trouver... C'est une source qui nous permet de trouver des belles formules. Voilà. Posez vos questions dans les commentaires s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Linéariser cos³ !

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