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Physique-Chimie

Physique

Unités, incertitudes

Le cours explique comment définir les unités de planque en utilisant les unités fondamentales de la physique au lieu des étalons de mesure habituels. Pour cela, on détermine d'abord les dimensions des constantes G, C et H, puis on utilise une méthode d'équation aux dimensions pour trouver des grandeurs caractéristiques comme la masse, la longueur, le temps et la température. Pour la température, on utilise la constante de Boltzmann. L'exercice nécessite un raisonnement et des calculs complexes, mais constitue une méthode précise pour définir les unités de mesure basées sur la physique.

Salut, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui on va faire un exercice sur les unités de planque. Ok, donc en fait l'idée générale de l'exo c'est de déterminer ce qu'on appelle les unités de planque. Le but c'est que les unités habituelles de longueur, de temps, de masse, etc. soient définies, non pas en fonction des étalons qu'on garde en France par exemple, mais en fonction des unités fondamentales de la physique. C'est une idée qui a été véhiculée par Planck et donc on va voir comment est-ce qu'on pourrait la mener à bien. Tout d'abord on nous demande de déterminer la dimension des trois constantes, G, C et H. Bon, pour ça, G on a fait une méthode là-dessus, donc vous pouvez regarder ça si vous n'êtes pas au point là-dessus. L'idée c'est toujours la même chose. Je prends une expression que je connais, qui met en jeu les unités que je veux, et ça me permet de déterminer celle-ci. Donc typiquement là je vais prendre l'expression d'une force. La force d'interaction gravitationnelle c'est G m1 m2 sur d². J'isole le G, ça me donne cette force, fois d² sur m1 m2. Et donc G c'est kg ms²-2, ça c'est la force, fois d² divisé par dkg². Donc ça c'est prime m³ kg-1 s²-2. Et donc ça si je convertis en termes de dimension ça me fait L3 m-1 t-2. Pour H, la formule que vous connaissez, qu'on appelle la formule de Planck-Einstein, c'est E égale H nu pour l'émission d'un photon par un électron. E c'est l'énergie, nu c'est la fréquence, donc en Hertz. Et donc H c'est en joules secondes, et des joules c'est des kg m² s²-2. Pour ça vous pouvez utiliser E c'est égal 1 demi de mv2 ou des trucs comme ça. On l'a vu aussi en méthode. Donc ça nous donne H en kg m² s²-1. La vitesse de la lumière c'est en mètre par seconde, bon ça y a pas trop de difficultés. Ok alors là le but dans la question qui suit c'est de déterminer mp, lp et tp. Donc une masse caractéristique, une longueur caractéristique et un temps caractéristique à partir de ces trois constantes dont on connaît les unités. Et donc pour ça il y a toujours plusieurs méthodes. Soit vous avez de la chance, vous tâtonnez, vous mélangez un peu ces constantes, les dimensions, vous voyez un peu le truc et ça vous donne ce que vous voulez. Tant mieux, ça marche pas tout le temps. Et ici en vrai vous pouvez essayer, on a quand même des unités qui sont un peu complexes. Ça va pas être si simple de faire ces grandeurs caractéristiques. Donc on prend la méthode brutale de A à Z qui s'appelle faire une équation aux dimensions. Qu'est-ce que c'est une équation aux dimensions? On a déjà vu ensemble. C'est tout simplement dire je raisonne uniquement sur les dimensions et je veux trouver un truc qui soit homogène à un temps, à une longueur ou à une masse. Donc on va faire le premier exemple ensemble. Donc si je prends cette masse de Planck, ça va être G à la puissance alpha fois H à la puissance bêta fois C à la puissance gamma. C'est une combinaison de nos constantes. Je détaille en fonction des unités que j'ai. La masse elle est en kilos. Donc là j'ai juste utilisé les questions d'avant et j'ai mis en couleur masse, kilogramme et seconde. Et en fait ce truc là ça va nous donner des équations parce que je veux que en termes de dimensions le membre de gauche soit égal au membre de droite. Donc ça nous donne un système de trois équations. On a trois équations, trois inconnues donc c'est ok. On est optimiste. Voilà les trois équations que ça nous donne. Et donc pour les réseaux, je fais 1-3 comme ça je peux éliminer le gamma. Et ensuite je rajoute un certain nombre de fois la deuxième comme ça j'élimine le alpha. Donc ça me donne bêta égale 5 huitièmes. Ensuite je reprends la deuxième justement, ça me donne alpha égale moins 3 huitièmes. Et je réinjecte tout ça dans une des deux qui prend en compte les trois paramètres. Et ça me donne que gamma égale 1 huitième. Donc ça c'est bon, il me suffit de tout réinjecter et ça me donne que la masse de Planck c'est g à la puissance moins 3 huitièmes, h à la puissance 5 huitièmes et c'est à la puissance 1 huitième. Alors c'est pas très beau, c'est pour ça que je vous disais que vous n'allez pas pouvoir y arriver en tâtonnant un peu. C'est explosant 8, sinon il faut être super fort. Donc une manière un peu plus sympa de le mettre c'est mp à la puissance 8 c'est h5c sur g3. Donc voilà ça c'est la méthode, c'est un peu technique, un peu long mais en tout cas vous êtes sûr d'arriver à la réponse. Donc on fait exactement de la même manière pour déterminer la longueur et le temps caractéristiques. Qu'est-ce que je vous ai dit? Ah oui voilà, le système à résoudre il change un peu mais c'est la même chose. Donc voilà tp, c'est exactement la même chose, j'ai gardé les mêmes explosants mais évidemment ce n'est pas les mêmes selon t, l ou m. Le système il change un peu, en fait ce qui va changer c'est ce qu'on va garder comme unité derrière. Et donc ça je résouds de la même manière, j'élimine les gammas etc. Et ça me donne que tp à la puissance 8 c'est 1 sur grand G h fois c5. Et rebelote, même chose pour la dernière lp, mes équations, voilà, vous avez obtenu de la même manière ma manière de résoudre. Et donc je trouve lp à la puissance 8 c'est G G H sur c3. Alors vous voyez qu'on trouve l'exposant 8 partout, c'est assez logique parce que les systèmes sont très similaires, il y a peu de choses qui changent. Donc c'est finalement assez rationnel qu'on trouve ce même explosant 8 à chaque endroit. Voilà donc ça c'était pour masse, longueur et temps. Alors ensuite on complexifie un peu la chose, on nous demande également une température caractéristique. Et donc pour la température il faut utiliser une autre constante qu'on appelle la constante de Boltzmann que vous verrez en physique statistique notamment, qui est une grande constante de la physique également. Et donc l'idée c'est qu'en fait Kb fois T c'est homogène à une énergie et on sait ce que c'est qu'une énergie. Et donc via l'énergie on va pouvoir retomber sur cette température. Alors allons-y. Donc je sais que Kb fois Tp comme c'est homogène à une énergie c'est en kgm²s-2. Pour ça encore une fois on peut passer par les expressions de EC ou EP que vous connaissez. Et donc là il y a une astuce. L'astuce c'est que soit on repart de ces énergies, on repart de G, H et C, on refait notre équation en dimensions, on re-résout notre système, trois équations, trois inconnues. Là ça fait la troisième fois déjà que vous résolvez un système de trois équations en trois inconnues, vous en avez peut-être marre. Et donc ce qu'il faut c'est faire une combinaison des grandeurs qu'on a trouvées pour trouver une énergie. Donc ça c'est beaucoup plus simple et ça va être homogène aussi, ça va bien marcher. Et donc voilà, ça va nous donner que Kb fois Tp c'est homogène à MPlp² Tp à la puissance moins 2. Je remets mes grosses expressions que j'ai obtenues tout à l'heure, donc j'ai simplifié les 1 huitième en un quart. Je ne sais pas si c'est utile pour le calcul après. Et donc ça me donne que Kb Tp c'est homogène à H7 huitième C3 huitième. Ah oui j'avais oublié le G pardon. Donc Tp l'un dans l'autre c'est homogène à G H7 huitième C3 huitième divisé par Kb. Donc voilà. J'espère que cet exercice vous aura été utile. C'est un exercice super complet à la fois en termes de raisonnement, de calcul, de petites astuces sur les dimensions. Je pense que c'est à peu près le plus dur qu'on puisse vous demander sur ce chapitre. N'hésitez pas si vous avez des questions en commentaire.

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