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Dans ce cours sur les suites numériques et réelles, nous allons découvrir comment montrer que la racine de deux est irrationnelle et comment généraliser cela à toutes les racines nième de nombres qui ne sont pas des puissances parfaites. Nous allons utiliser le raisonnement par l'absurde pour supposer que la racine de deux est rationnelle et voir comment cela conduit à une absurdité en termes mathématiques. Nous poursuivrons ensuite avec le cas général et montrerons que, si un nombre n'est pas une puissance parfaite, alors sa racine nième est irrationnelle. Nous appliquerons l'unicité de la décomposition au facteur premier pour démontrer cela. Cette démonstration est un classique à savoir et est importante pour le raisonnement mathématique.

Salut à tous, c'est Kevin de Studio. Alors sur ce chapitre des suites numériques et des réelles, il y a un exercice qui est vraiment un gros classique, c'est de montrer que racine de 2 est irrationnelle et que, de façon générale, racine énième d'un nombre qui n'est pas une puissance parfaite est aussi irrationnelle. Donc ça c'est vraiment un classique à savoir faire et la base de ce raisonnement, c'est le raisonnement par la pure. Donc on va voir ça de suite. Alors, ça se fait en deux temps. La première étape, c'est de montrer que racine de 2 est irrationnelle et ensuite on va généraliser de manière, pour tous les nombres du type racine énième de M, où M n'est pas une puissance parfaite. Donc, par l'absurde, on va faire, on suppose que racine de 2 est rationnelle et on va voir où est-ce qu'on va aboutir à une absurdité. Donc, c'est là où il faut bien savoir mettre sous forme mathématique cette hypothèse. Ça veut dire que racine de 2 s'écrit comme un quotient de deux nombres entiers, de la forme a sur b, si on est parfaitement rigoureux, avec d'abord a et b premiers entre eux, et a qui appartient à z, et n à n étoiles. Ça veut dire que b n'est pas négatif. Donc, racine de 2 s'écrit a sur b, et je mets tout ça au carré, ça ne fait que 2 égale a carré sur b carré. Et donc, finalement, je me rends compte que a carré est un nombre pair puisqu'il vaut 2b carré. Donc, a carré est pair, si a carré est pair, ça veut dire forcément que a est pair aussi, ça se démontre très facilement. En réalité, le produit de deux nombres impairs est impair, et le produit de deux nombres pairs est pair. Donc, nécessairement, a ne peut qu'être pair. Très bien, donc on a une première information, c'est que a est pair. Donc, je l'écris sous la forme de 2 fois un nombre p, et je repasse au carré. a carré, ça vaut 4p carré. Or, a carré, d'après ce qu'on a dit juste avant, c'est égal à 2b carré, donc j'ai 2b carré qui vaut 4p carré, et j'en déduis également que b carré est pair. Et donc, de la même manière, si b carré est pair, ça veut dire que b est aussi. Conclusion, j'ai a et b qui sont pairs tous les deux, donc finalement l'hypothèse de départ, qui était de dire que a et b sont des nombres premiers entre eux, est fausse, puisqu'en fait je peux encore simplifier cette fraction par 2. Donc, ça veut dire que l'hypothèse de départ est fausse, c'est donc absurde. Par l'absurde, j'ai montré que racine de 2 n'est pas irrationnelle, donc est irrationnelle. Maintenant, on va venir au cas général. C'est pareil, on va faire aussi une démonstration par l'absurde. Je suppose que racine nm de m appartient à q, avec m et n des entiers et quelconques. De la même manière, si je suppose ça, ça veut dire qu'il s'écrit sous la forme d'un quotient, et je passe à la puissance nm. Évidemment, je ne veux surtout pas me retrouver avec des racines nm, je ne peux faire aucun calcul, donc je mets la puissance n et je me retrouve avec a puissance n égale m fois b puissance n. Ensuite, on va traiter différemment les cas b égale 1 et a égale 1 du reste. On va voir, ils sont très faciles. Donc si b égale 1, qu'est-ce que ça veut dire? Je me retrouve avec m égale a puissance n. Et donc là, directement, j'ai m qui est une puissance parfaite. Et donc là, il est bien rationnel, évidemment, puisque quand je prends sa racine nm, ça va faire a. Si a égale 1 cette fois, en fait là, ça ne va pas être possible, parce qu'on va avoir m fois b puissance n qui est égal à 1. Or, m fois b puissance n, étant donné que m est un entier et que b puissance n est un entier aussi, on se retrouve, ils sont forcément supérieurs ou égales à 2. Donc en fait, ce cas-là, finalement, n'existe pas. Ensuite, on revient au cas général. Donc là, cette fois, on suppose que a est supérieur à 2 et b supérieur à 2. Donc je reprends mon égalité avec les puissances. a puissance n égale m fois b puissance n. Et c'est là où, en fait, il faut utiliser un théorème que vous aviez vu déjà l'année dernière en terminale. C'est qu'il faut utiliser l'unicité de la décomposition au facteur premier. Finalement, grâce à cette relation, j'endets lui que tout facteur premier de a puissance n ou b puissance n, est un multiple, en fait, tout exposant, pardon, est un multiple de n. Donc il n'est pas forcément égal à n, l'exposant, quand je décompose au facteur premier, mais c'est un multiple de n. Et c'est le cas également pour tout facteur premier de m. C'est le cas pour tout le monde. Donc, finalement, comme on a tout facteur premier de m qui est un multiple, dont son exposant est un multiple de n, m est donc une puissance énième parfaite. M va s'écrire sous la forme m égale, par exemple, a puissance n, alors a c'était mal trouvé, mais il va être de la forme k1 puissance n, fois k2 puissance n, fois k3, peut-être k3 à la puissance 3n. L'exposant du facteur est forcément un multiple de n. Donc finalement, je peux écrire m comme une puissance énième parfaite. Donc finalement, m s'écrit de la forme p puissance n. Et c'est là où on va retomber sur une absurdité. Enfin, on aboutit que m est forcément... Ce n'est pas tout à fait une absurdité ici, c'est que le m est une puissance énième parfaite. On déduit que c'est le seul cas qui n'aboutit pas à une absurdité. Donc contrairement à la première démonstration où là on aboutissait forcément à une absurdité, là en fait c'est pas une absurdité, mais si c'est un rationnel, alors forcément on peut avoir m n'est qu'une puissance énième parfaite. Et évidemment, là, la racine énième d'une puissance énième, ça fait bien un entier. Mais dans tous les autres cas, par contraposé, si m n'est pas une puissance énième parfaite, alors j'en déduis que racine énième de m n'est pas un rationnel. Donc voilà pour cette démonstration, c'est important de savoir le maîtriser, c'est important de raisonner, ça peut tomber à l'oral, comme ça peut être une première question d'écrit. Donc voilà, à savoir bien refaire si vous vous retrouvez face à cette situation. Voilà pour cette vidéo.

Irrationnalité de racine de 2

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