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Nombres Réels

Ce cours de mathématiques démontre que log2, 2 est un nombre irrationnel en utilisant la méthode de la réduction à l'absurde. En supposant que log2, 2 peut s'écrire sous la forme a sur b, l'auteur montre que cela mène à une contradiction avec la propriété des nombres premiers. Finalement, l'auteur conclut que log2, 2 ne peut être représenté par une fraction et est donc irrationnel.

Dans le même registre, on a log2, 2 est irrationnel, c'est exactement le même genre de démonstration, donc on va aussi raisonner par l'absurde. On commence par supposer que log2, 2 est irrationnel, donc qui s'écrit de la forme a sur b ici. C'est là qu'on utilise la définition de ce qu'est log2, 2. Alors d'ailleurs, dans un premier temps, là ici, on peut remarquer que log2, 2 est positif, donc je suis sûr que a sur b, ce sont deux entiers positifs. J'utilise la définition, ça veut dire que 10 puissance a sur b est égal à 2. Donc là, je mets la puissance b, donc je me retrouve avec 10 puissance a égale 2 puissance b. Et donc finalement, ça veut dire quoi? Ça veut dire si je décompose 10 en étant égal à 5 fois 2, je me retrouve avec 5 puissance a égale 2 puissance b moins 1. Et c'est là où j'ai une absurdité. Et très important, ici, j'aimerais être sûr que je me retrouve avec des entiers positifs à l'exposant. On a b moins a qui est supérieur à 0. Pourquoi? Parce que a est supérieur à 1. Et surtout, ce que je n'ai pas dit par écrit, mais log2, 2 est entre 0 et 1. Je suis sûr qu'en fait, b est forcément supérieur à a pour avoir un nombre qui est compris entre 0 et 1. Donc b moins 1 est supérieur à 0. Et donc, je me retrouve avec 5 puissance a qui est forcément supérieur à 5. Donc finalement, j'ai bien des exposants qui sont tous positifs, a et b moins a. Je me retrouve avec une égalité de facteur premier, finalement. Et en réalité, je sais que 5 et 2 sont premiers entre eux. Donc l'égalité 5 puissance a égale 2 puissance b moins 1, c'est impossible. Par unicité de la décomposition en facteur premier d'un entier. Donc la conclusion à tout cela, c'est que la supposition initiale était fausse, log2, 2 est irrationnel.

Irrationnalité de log de 2

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