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Dans ce cours, on aborde la méthode pour trouver les bornes sup et inf de deux ensembles A et B, qui sont eux-mêmes bornés et non vides. On veut montrer que les bornes sup et inf des ensembles A, B, A+B (l'ensemble des éléments résultats de l'addition des éléments de A et de B), etc. existent et que l'égalité sup A+B = sup A + sup B (et de même pour les bornes inf) est valable.Une borne sup est le plus petit majorant d'un ensemble, ce qui ne veut pas dire qu'il s'agit d'un maximum. Si M est la borne sup d'A, cela signifie qu'il existe un élément de A qui est situé à une distance inférieure à n'importe quelle distance ε de M. La borne sup peut être atteinte, mais ce n'est pas obligatoire. Un maximum est une borne sup qui est atteinte, mais pas toutes les bornes sup sont des maximums.Dans l'exercice, on utilise les bornes sup et inf pour trouver la borne sup de A+B. Le majorant est trouvé en faisant la somme des bornes sup d'A et de B, et on montre que sup A + sup B est inférieur à sup A+B. Ensuite, on montre que sup A+B est égal à sup A + sup B en revenant à la définition et en utilisant la distance entre Alpha/Alpha prime et A0/B0.La même méthode est utilisée pour trouver les bornes inf.

Salut à tous, on va voir une méthode sur les bornes sup, bornes inf avec un exercice vraiment formel, c'est à dire qu'on ne connaît pas du tout ce que contient nos ensembles, et on va faire un exercice vraiment très théorique sur les bornes sup et les bornes inf. Vous allez voir ça, donc ça c'est à maîtriser parce qu'on va revenir à la définition de ce qu'est une borne sup et une borne inf. Allez c'est parti! Ok alors, dans cet exercice, comme je vous l'ai dit, on a vraiment très peu d'infos, je sais juste que A et B ce sont deux parties de R, non vides et bornées, et on veut montrer que sub de A, sub de B, sub de A plus B etc etc existent, et qu'on a une égalité assez importante c'est que sub de A plus B c'est sub de A plus sub de B, et idem pour les bornes inf. Donc, déjà, première chose, c'est quoi une borne sup? Pourquoi les étudiants ont un peu du mal? C'est le plus petit des majorans d'un ensemble, ce n'est pas un maximum, attention, donc ça veut dire que si M est le sub de A, ça veut dire que pour toute épsilon, il existe un élément de A qui est situé à moins d'une distance d'épsilon de cette borne sup M. C'est à dire que je peux me rapprocher aussi près que je veux de cette borne sup. Techniquement, elle peut être atteinte, elle peut ne pas être atteinte, si elle est atteinte, c'est donc un maximum. Donc un maximum est bien une borne sup. Une borne sup n'est pas nécessairement un maximum, ça c'est très important. Le meilleur exemple que vous connaissez très bien, c'est les intervalles ouverts. Un intervalle ouvert, un intervalle 0-1 ouvert, 1 est une borne sup, c'est à dire que je peux me rapprocher infiniment proche de 1, mais 1 n'est jamais atteint. C'est ça la vraie différence. Dans l'exercice, j'ai A et B qui sont deux parties non vides et majorées de R. Vous savez d'après votre cours que ça veut dire que chacune d'entre elles admet une borne supérieure. Pour simplifier, je vais appeler A A, B B, et on a A plus B, c'est l'ensemble des éléments A plus B avec A décrivant A, B décrivant B. Je vais déjà essayer de trouver un majoran, j'ai un majoran tout trouvé, c'est évidemment A plus B, puisque A est plus petit qu'Alpha, B est plus petit qu'Beta, la somme des deux ça marche, donc finalement j'ai bien un majoran Alpha-Beta, et en plus A plus B est non vide, ce qui contient tous les éléments de la forme A plus B. Donc je sais que sup de A existe, sup de A plus B existe, et j'ai un majoran d'ailleurs qui est Alpha plus Beta. Comme c'est un majoran, je sais que le sup qui est le plus petit de tous les majorans est forcément inférieur à Alpha plus Beta, donc j'ai une première égalité, inégalité, sup de A plus B est inférieur à Alpha plus Beta. Maintenant je vais essayer de montrer qu'il est égal. Pour montrer cette égalité, là je n'ai pas le choix, je reviens à la définition. Je pose Epsilon supérieure à 0, et j'ai posé Epsilon prime égal à Epsilon sur 2, vous allez voir pourquoi, ça va être très pratique. Comme Alpha est la borne sup de A, je sais qu'il existe forcément un élément A0 qui est situé à distance Epsilon prime de Alpha. Donc ça veut dire A0 est compris entre Alpha moins Epsilon prime et Alpha. Je sais que je peux en trouver un. Idem pour B0, je peux trouver un élément B0 qui est situé à une distance inférieure à Epsilon prime de Beta. Donc ça veut dire que B0 est compris entre Beta moins Epsilon et Beta. C'est juste ça que j'ai écrit. J'ai utilisé les définitions des bornes sup avec Epsilon prime égal à Epsilon sur 2. Pourquoi sur 2? Parce que je vais faire la somme des deux inégalités, et je vais me retrouver avec Alpha plus Beta moins 2 Epsilon prime, qui est plus petit que A0 plus B0, qui est plus petit qu'Alpha plus Beta. Voilà pourquoi je posais Epsilon prime égal à Epsilon sur 2, parce que comme ça quand j'ai 2 Epsilon prime, ça me fait Epsilon. Et donc là, je suis bien revenu à la définition. J'ai bien que Alpha plus Beta est un majorand, n'oubliez jamais de montrer ça, d'abord que c'est un majorand, et ensuite que quelque soit Epsilon super A0, il existe un élément de A plus B, donc A0 plus B0, qui est situé à une distance de moins 2 Epsilon de ce majorand. Ce majorand est donc la borne sup, et j'ai donc sup de A plus B qui vaut Alpha plus Beta, qui est donc égal à sup de A plus sup de B. Pour les bornes inf, c'est exactement la même chose. C'est exactement le même principe, vous posez aussi Alpha prime égal à 1 de A et Beta prime égal à 1 de B, c'est exactement la même chose, vous posez Epsilon prime égal à Epsilon sur 2, et ça marche exactement de la même manière. Donc voilà pour cet exercice formel pour gérer les bornes sup, et là vous voyez que dans ce genre d'exercice, il faut savoir revenir à la définition pour pouvoir prouver cette égalité. Voilà pour cette méthode, j'espère que tout est clair pour vous, n'hésitez pas si jamais vous avez des questions.

Opérations sur les bornes inférieure et supérieure

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