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Suites et Convergence

Ce cours traite des suites adjacentes et leur étude de la variation. Les suites sont couplées et ont une relation de récurrence impliquant UN plus UN, UN-VN et VN plus UN. Le but est de déterminer une combinaison linéaire pour simplifier le problème. En calculant UN plus UN moins UN, on trouve que VN moins UN est une suite géométrique de raison un tiers avec un signe constant. Les sens de variation des deux suites UN et VN sont opposés, donc elles sont monotones, l'une croissante et l'autre décroissante. Les suites ont une différence qui tend vers zéro, donc elles convergent vers une même limite commune L. En trouvant la combinaison linéaire et en passant à la limite, on obtient une équation pour déterminer L. Le cours suggère de trouver soi-même les combinaisons linéaires, ce qui est un peu plus compliqué qu'en terminale.

Et à tous, maintenant on va parler des suites adjacentes, donc les suites adjacentes que vous connaissez déjà depuis la terminale. Simplement, en supe, elles servent toujours, bien sûr, et vous aurez des exercices un peu plus compliqués en terminale. Donc on commence d'abord par une méthode assez simple, et ensuite, prochaine vidéo, on reviendra sur une méthode un peu plus complexe, qui sera un peu le modèle de ce que vous pourrez avoir, que ce soit en col ou à l'écrit. C'est parti! Les suites adjacentes Alors, on a deux suites qui sont couplées, ce qu'on appelle couplées, c'est-à-dire qu'elles sont imbriquées l'une par rapport à l'autre. On a une relation de récurrence qui fait intervenir dans UN plus UN, UN-VN, et la même chose dans UN plus UN, dans la UN-VN. Donc là, le jeu, ça va être de déterminer une combinaison linéaire de ça, qui va simplifier un peu le problème. L'énoncé ne nous suggère pas de solution, uniquement en terminale, que vous auriez pu avoir, on vous aurait suggéré, posons WN égale, maintenant ça va être à vous de trouver WN. Et grâce à ça, on va déduire ensuite la limite de UN et WN. Alors, déjà, quand on nous dit étudier les suites, ça veut dire quoi? Pour les suites, c'est tout le temps la même chose, ça veut dire étudier le sens de variation. C'est parti, on calcule UN plus UN moins UN, et on se rend compte que si on fait le calcul, ça fait un tiers de VN moins UN, et VN plus UN moins VN, ça fait moins un tiers de VN moins UN, et d'autre part, VN plus UN moins UN plus UN, vaut aussi un tiers de VN moins UN. Donc, qu'est-ce qu'on en déduit? On en déduit que VN moins UN est une suite géométrique de raison un tiers. Et donc, c'est ça, cette fameuse combinaison linéaire qui va nous aider, puisqu'on sera capable de déterminer l'expression facilement de VN moins UN. Ce qu'on remarque aussi, c'est que comme elle est géométrique de raison un tiers, donc une raison positive, ça veut dire que le signe est constant de cette suite. J'en déduis deux choses, comme on a VN plus UN moins VN qui est égal à VN moins UN, et là, UN plus UN moins UN qui est égal aussi à VN moins UN pour un tiers, on en déduit que tout ça, c'est de signes constants. Le problème, c'est qu'on ne connaît pas le signe, mais on en déduit que c'est soit tout le temps croissant, soit tout le temps décroissant, et on remarque, à cause du moins ici, que les sens de variation des deux suites UN et VN sont opposés. On en déduit que UN et VN sont monotones, l'une est croissante, l'autre est décroissante. D'autre part, grâce à cette égalité là, on a dit que VN moins UN, ou UN moins VN d'ailleurs, est géométrique de raison un tiers, donc elle tend vers zéro. À cela, ce que je remarque, c'est que j'ai des suites qui sont de sens de variation opposés, dont la différence tend vers zéro, et donc je sais qu'elles sont adjacentes, et donc qu'elles convergent vers une même limite commune que je vais appeler L. Grâce à ça, ça donne une première équation, mais je ne sais toujours pas ce qu'est L. D'autre part, on peut remarquer en faisant le calcul que UN plus UN plus VN plus UN égale UN plus VN. Donc en fait, ça veut dire que UN plus VN est la suite constante, et donc je vais trouver tout simplement par passage à la limite, je sais que U0 plus V0 s'égale à UN plus VN pour toute N, et donc je passe à la limite, ça fait 2N. Donc je vais trouver L qui est égale à U0 plus V0 sur 2. Donc là, l'exercice n'est pas très dur une fois qu'on a compris les combinaisons linéaires à poser, mais la petite subtilité par rapport à avant, c'est que ça sera à vous de trouver ces combinaisons linéaires. Donc là, c'est en essayant des combinaisons, les plus évidentes c'est quand même d'essayer UN plus VN et UN moins VN, et les deux nous donnaient des choses intéressantes. Voilà ce qu'on attend de vous cette année par rapport à l'année dernière.

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